Прикладной регрессионный анализ. Многофакторная регрессия. Шашков В.Б. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

17
Последние являются лишь оценками для теоретических коэффициентов
β
, а отклик объекта у
g
- оценкой для математического ожидания M{y
g
}.
Практика обработки экспериментальных данных показала, что резуль-
таты эксперимента в виде табличной функции в большинстве случаев с дос-
таточным приближением отражаются полным кубическим полиномом по
форме уравнения (6). Часто третья степень полинома не только достаточна,
но и избыточна, т.е. количество членов полинома можно и уменьшить без
существенной потери точности. Поэтому при построении и выборе аппрок-
симирующего уравнения строят систему альтернативных уравнений из пол-
ного кубического полинома и его отдельных степенных кусков. Сравнивая
характеристики этих уравнений, выбирают наиболее приемлемое. В качестве
примера такого подхода рассмотрим кубическое уравнение для 5-ти фактор-
ной задачи регрессии, которое запишем в виде системы его степенных кус-
ков:
у= b
0
+b
1
x1+b
2
x2+b
3
x3+b
4
x4+b
5
x5+
+b
12
x1x2+b
13
x1x3+b
14
x1x4 +b
15
x1x5+b
23
x2x3+b
24
x2x4+... +b
35
x3x5+b
45
x4x5+
+b
123
x1x2x3+b
124
x1x2x4+...+b
135
x1x3x5+...+b
245
x2x4x5+...+ b
345
x3x4x5+
+b
1234
x1x2x3x4++b
1235
x1x2x3x5++b
1345
x1x3x4x5++b
2345
x2x3x4x5+
+b
12345
x1x2x3x4x5+
+b
11
x1
2
+b
22
x2
2
+b
33
x3
2
+b
44
x4
2
+b
55
x5
2
+
+b
111
x1
3
+b
222
x2
3
+b
333
x3
3
+b
444
x4
3
+b
555
x5
3
.
Первая строка этой записи есть линейное уравнение – первый альтер -
нативный полином. Две первые строки вместе образуют второе альтернатив -
ное уравнение, которое называется неполным квадратичным. Соответственно
три первые строки вместе есть неполное кубическое уравнение; четыре стро-
ки – неполное уравнение четвертой степени, затем – неполное пятой степени.
Шесть строк вместе есть полное квадратное уравнение, а вся запись – полный
кубический полином. Таким образом, имеем систему из семи альтернатив-
ных уравнений, в которой обычно удается найти приемлемое решение.
Такая форма записи уравнений позволяет сократить ее, используя, на-
пример, либо запись только коэффициентов с индексами вида
b
0
+b
1
+…+b
12
+…+b
123
+…+b
1234
+…+b
12345
+b
11
+…+b
111
+…+b
555
=y,
либо запись уравнения только в индексах коъффициентов b, т.е.
0 1 2 3 4 5 12 13 14 15 23 24 25 34 35 45 123 124 125 134 135 145 234
235 245 345 1234 1235 1245 1345 2345 12345 11 22 33 44 55 111 222 (7)
333 444 555
Конкретный вид полинома регрессии для данной таблицы данных обы-
чно неизвестен, как и объективная функция, которая "закодирована" данной
таблицей. Поэтому процедура регрессионного анализа начинается с выдви-
жения гипотезы о конкретном виде уравнения, которым мы намереваемся от-
разить экспериментальную табличную зависимость. Вид уравнения регрес-
сии задается либо на основе каких-то математических, физических или про-
     Последние являются лишь оценками для теоретических коэффициентов
β, а отклик объекта уg - оценкой для математического ожидания M{yg}.
       Практика обработки экспериментальных данных показала, что резуль-
таты эксперимента в виде табличной функции в большинстве случаев с дос-
таточным приближением отражаются полным кубическим полиномом по
форме уравнения (6). Часто третья степень полинома не только достаточна,
но и избыточна, т.е. количество членов полинома можно и уменьшить без
существенной потери точности. Поэтому при построении и выборе аппрок-
симирующего уравнения строят систему альтернативных уравнений из пол-
ного кубического полинома и его отдельных степенных кусков. Сравнивая
характеристики этих уравнений, выбирают наиболее приемлемое. В качестве
примера такого подхода рассмотрим кубическое уравнение для 5-ти фактор-
ной задачи регрессии, которое запишем в виде системы его степенных кус-
ков:
у= b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5+
 +b12x1x2+b13x1x3+b14x1x4 +b15x1x5+b23x2x3+b24x2x4+... +b35x3x5+b45x4x5+
 +b123x1x2x3+b124x1x2x4+...+b135x1x3x5+...+b245x2x4x5+...+ b345x3x4x5+
 +b1234x1x2x3x4++b1235x1x2x3x5++b1345x1x3x4x5++b2345x2x3x4x5+
 +b12345x1x2x3x4x5+
 +b11x12+b22x22+b33x32+b44x42+b55x52+
 +b111x13+b222x23 +b333x33+b444x43 +b555x53.

      Первая строка этой записи есть линейное уравнение – первый альтер -
нативный полином. Две первые строки вместе образуют второе альтернатив -
ное уравнение, которое называется неполным квадратичным. Соответственно
три первые строки вместе есть неполное кубическое уравнение; четыре стро-
ки – неполное уравнение четвертой степени, затем – неполное пятой степени.
Шесть строк вместе есть полное квадратное уравнение, а вся запись – полный
кубический полином. Таким образом, имеем систему из семи альтернатив-
ных уравнений, в которой обычно удается найти приемлемое решение.
      Такая форма записи уравнений позволяет сократить ее, используя, на-
пример, либо запись только коэффициентов с индексами вида
  b0+b1+…+b12+…+b123+…+b1234+…+b12345+b11+…+b111+…+b555=y,
либо запись уравнения только в индексах коъффициентов b, т.е.

0 1 2 3 4 5 12 13 14 15 23 24 25 34 35 45 123 124 125 134 135 145 234 
 235 245 345 1234 1235 1245 1345 2345 12345 11 22 33 44 55 111 222  (7)
 333 444 555                                                         
       Конкретный вид полинома регрессии для данной таблицы данных обы-
чно неизвестен, как и объективная функция, которая "закодирована" данной
таблицей. Поэтому процедура регрессионного анализа начинается с выдви-
жения гипотезы о конкретном виде уравнения, которым мы намереваемся от-
разить экспериментальную табличную зависимость. Вид уравнения регрес-
сии задается либо на основе каких-то математических, физических или про-

                                                                       17

Страницы