Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 222 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

223
00
)()()(
1
0 IQ
dxxgdxxgdxxg
1
0
)(
0
))((lim
n
i
i
i
n
mQxg
+
1
0
)(
0
))((lim
n
j
j
j
n
mIxg
=
=
1
0
)(
0
)1(lim
n
i
i
n
mQ
+
1
0
)(
0
)0(lim
n
j
j
n
mI
=
=
1
0
)(
0
lim1
n
i
i
n
mQ
+
1
0
)(
0
lim0
n
j
j
n
mI
=
=
0
1 mQ
+
=
01001
, где
QQ 1;0
0
;
II 1;0
0
;
))()((
100
xggxgQQ
ii
i
;
))()((
100
xggxgII
jj
j
.
6. Вычислите интеграл Лебега от функции
,,,
5
1
,,
)(
2
NnРxесли
Kxеслиx
xf
n
n
на отрезке
1;0
. Здесь К - точки канторова множества,
множество P
n
– множество точек всех интервалов, которые уда-
ляются из отрезка на n-ом шаге построения множества Кантора.
Решение. Поскольку множество точек отрезка можно предста-
вить, согласно условию задачи, в виде:
1;0
=
......
21
n
РРРК
,
Очевидно, что mK = 0 и mP
n
=
n
n
3
1
2
1
, так как на n – ом
шаге построения канторова множества удаляется 2
n-1
интерва-
лов, длина которых равна
n
3
1
. Следовательно,
K
dxxfdxxf )()(
1
0
1
)(
P
dxxf
…+
n
P
dxxf )(
…= 
                       1

                        g ( x)dx   g ( x)dx   g ( x)dx 
                       0                      Q0                 I0
                n 1                                           n 1
         lim  ( g i ( x )  mQ0( i ) ) + lim  ( g j ( x )  mI 0( j ) ) =
         n                                            n 
                i 0                                           j 0
                                  n 1                                n 1
                 = lim (1   mQ0( i ) ) + lim (0 
                       n 
                                  i 0
                                                        n 
                                                                       mI
                                                                      j 0
                                                                                  ( j)
                                                                                  0      )=

                                      n 1                            n 1
                   = 1  lim  mQ0( i ) + 0  lim
                               n 
                                      i 0
                                                           n 
                                                                       mI
                                                                      j 0
                                                                              ( j)
                                                                              0          =

     = 1  mQ0 + 0  mI 0 = 1  0  0  1  0 , где Q0  0;1  Q ;
         I 0  0;1  I ;                   Q0i  Q0 ( gi ( x)  g  gi 1 ( x)) ;
                           I 0j  I 0 ( g j ( x )  g  g j 1 ( x)) .
6. Вычислите интеграл Лебега от функции
           x 2 , если x  K ,
          
 f ( x)   1
                , если x  Рn , n  N ,
           5n
на отрезке   0;1. Здесь К - точки канторова множества,
множество Pn – множество точек всех интервалов, которые уда-
ляются из отрезка на n-ом шаге построения множества Кантора.
Решение. Поскольку множество точек отрезка можно предста-
вить, согласно условию задачи, в виде:
               0;1 = К  Р1  Р2  ...  Рn  ... ,
                                                                         1
Очевидно, что mK = 0 и mPn = 2 n 1                                        , так как на n – ом
                                                                         3n
шаге построения канторова множества удаляется 2n-1 интерва-
                                              1
лов, длина которых равна                         . Следовательно,
                                              3n
     1

      f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  …+  f ( x)dx  …=
     0                     K                       P1                        Pn




                                                         223

Страницы