Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 221 стр.

                   4. Задачи олимпиадного
                   и конструктивного характера

1. Найти предел последовательности функций xn t   t n в про-
странстве С1[0;1] .
Решение. Предположим, что последовательность сходится к
функции        t   0 .  В      данном      пространстве
               1
 xn ,     t n dt           , а значит,  xn ,    0 при n   .
                               1
               0
                             n 1
Следовательно, выполненное предположение верно.

2. Исследовать на сходимость последовательность функций
xn(t)=tn к функции  t   0 в пространстве С [0;1].
Решение. Эта же последовательность функций в пространстве С
[0;1] не сходится к функции  , поскольку в этом случае
                                 x n ,   max t n  1
                                          .     0 t 1

3. Составьте интегральную сумму Лебега для функ-
ции f ( x)  sin x на промежутке: 0  x  1 . Покажите, какой
площади на чертеже соответствует составленная сумма.
4. Вычислите интеграл Лебега функции
          g ( x ), x  Q,
f ( x)   2
          g ( x ), x  I ,  ( Q  I  R),
где g (x )  e x  5 - функция, заданная на множестве точек от-
резка: 0  x  1 ( R-множество действительных чисел) .
5. Вычислите интегралы Лебега:
                                                  
                         1                         2

               а) L       g ( x )  dx ; б) L  g ( x )  sin x  dx ;
                         0                         0
               2
     в) L        g ( x )  сosx  dx , где g (x ) - функция Дирихле.
             2
Решение. По свойствам меры и интеграла Лебега имеем:

                                                 222