Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Здесь бесконечен и второй односторонний предел
2
(2)
1
(2 0) lim
2
x
x
f
x
→
<
−
==−∞,
−
но для определения типа разрыва это несущественно (см.2.3 б).
2.6.1 Непрерывность функции на промежутке
Определение 2.19.
Функция
()
f
x
называется непрерывной на
некотором открытом промежутке
X
(конечном или бесконечном), если
она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Если
[]ab=,X
- замкнутый интервал, то в его граничных точках
a
и
b
предполагается
односторонняя непрерывность - правосторонняя в точке
a
и
левосторонняя в точке
b
. То есть должны быть выполнены соответственно
равенства
(0) ()
f
afa+=
и
(0) ()
f
bfb
−
=.
Графиком функции, непрерывной на промежутке, является сплошная
линия без разрывов; ее можно вычертить одним движением карандаша, не
отрывая его от бумаги.
Сформулируем без доказательства достаточно очевидные теоремы,
выражающие свойства функций, непрерывных на замкнутом интервале.
Теорема 2.27 (первая теорема Вейерштрасса). Функция непрерывная на
замкнутом промежутке ограничена на нем.
Теорема 2.28
(вторая теорема Вейерштрасса). Если функция
()
f
x
непрерывна на замкнутом интервале
[]ab
,
, то найдется по крайней мере
одна точка
1
[]
x
ab∈,
такая, что
[]
x
ab
∈,
выполнено
1
() ()
f
xfx
≤
и
найдется по крайней мере одна такая точка
2
[]
x
ab
∈
,
, что
[]
x
ab∀∈ ,
верно
2
() ()
f
xfx≥
.
Определение 2.20. Числа
1
()
f
xm
=
и
2
()
f
xM=
называются
соответственно
наименьшим и наибольшим значениями функции
()
f
x
на
замкнутом интервале
[]ab,
, если
[]
x
ab
∀
∈,
выполнено
()mfx M≤≤.
Теорема 2.29 (первая теорема Больцано-Коши). Если функция
()
f
x
непрерывна на замкнутом промежутке
[]ab
,
и
() () 0fa fb⋅<
, то
()()0cabfc∃∈ , : =.
Точку
x
c=
называют нулем или корнем функции
()
f
x
.
Теорема 2.30 (вторая теорема Больцано-Коши). Если функция
()
f
x
непрерывна на замкнутом промежутке
[]ab
,
и в точках
12
[]
x
xab
,
∈,
принимает значения
1
()
f
xA
=
и
2
()
f
xB
=
, то каково бы ни было число
C
,
заключённое между
A
и B,
()()cabfcC
∃
∈,: =.
Следствие 1 к теореме 2.30.
Если функция
()
f
x
непрерывна на замкнутом
интервале
[]ab,
, то на этом интервале она принимает по крайней мере
один раз любое значение, заключенное между её наименьшим
m
и
наибольшим
M
значениями.

Страницы