Составители:
Рубрика:
Пример 2.19. При
x
a→
функции
1cos
x
α
=
−
и
2
2
x
β
=
бесконечно малы.
Используя результаты (2.15) и (2.27), находим
2
2
2
00 0
1cos 2sin
lim lim lim
(1 cos )
2
xx x
sx
x
x
x
α
β
→→ →
−
== =
+
2
00
sin 1 1
2lim lim 2 1.
1cos 2
xx
x
xx
→→
⎛⎞
=⋅=⋅=
⎜⎟
+
⎝⎠
Отсюда в силу определения эквивалентности заключаем, что
α
и
β
-
эквивалентные бесконечно малые.
Результата примера 2.19 означает, что при
0x →
верна эквивалентность
2
1cos 2xx−/.:
2.6 Разрыв функции. Классификация точек разрыва
Непрерывность функции
()
f
x
в точке
a
означает выполнение в этой
точке равенства (2.20)
(0) (0) ()
f
afafa
−
=+=
Введем теперь понятие о точках разрыва функции как о таких точках, в
которых функция свойством непрерывности не обладает.
Определение 2.17. Конечную точку
a
называют точкой разрыва
функции
()
f
x
, если функция
()
f
x
определена на множестве
{}aX 5
, где
X
некоторая окрестность точки
a
и в этой точке не выполняются условия
непрерывности функции
()
f
x
.
Пример 2.20. Рассмотрим функцию
2
1 если 1
()
2 если 1
xx
fx
x
xx
−
,<
⎧
=
⎨
−
≥
⎩
Эта функция определена на всем множестве вещественных чисел. У
любой точки, отличной от
1
x
=
, найдется окрестность в которой исходная
функция элементарна (задана одним аналитическим выражением).
Следовательно, во всех таких точках функция заведомо непрерывна (см.
теорему 2.22). Единственная возможная точка разрыва -
1x =.
Для нее
(10)0 (10)1(1)1fff−=, +=, =,
то есть,
(1 0) (1 0)ff
−
≠+.
В этой точке
нарушается равенство (2.20). Следовательно, точка
1
x
=
будет точкой
разрыва этой функции.
Пример 2.21. Областью определения функции
1
()
2
fx
x
=
−
будет
множество
(2)(2)X
=
−∞, ∪ ,+∞
. Во всех точках, принадлежащих
X
,
функция непрерывна как элементарная. Точка
2x
=
не входит в область
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
