Составители:
Рубрика:
Откуда, поделив на
1
sin 0
2
α
>,
получим
1
1
sin cos
α
α
α
<
<.
Перейдя к неравенствам между обратными величинами, найдем
sin
cos 1
α
α
α
<
<.
Последнее неравенство установлено для промежутка
02
α
π
<</
. Легко
видеть, что замена
α
на
α
−
не нарушает этого неравенства, откуда следует
справедливость его и на промежутке
20
π
α
−
/< <
. В силу непрерывности
функции
0
cos limcos cos 0 1
α
α
α
→
,==,
и тогда по теореме 2.9 после перехода к
пределу получаем (если заменить
α
на
x
) следующий результат
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
. (2.27)
Это означает, что
sin
x
x:
при
0x →
.
Вычислим еще один весьма полезный предел
0
ln(1 )
lim 1
x
x
x
→
+
=
.
Так как символы предела и непрерывной функции можно менять местами
(см. пункт 2.3.1), то, положив
1
y
x
=
(
y →∞
при
0x →
), в силу определения
числа
e
имеем:
00
1
11
ln(1 )
(1 ) (1 )
lim lim(ln ) lim(ln ) ln lim ln 1.
(1 )
xx y y
yy
x
x
e
x
yy
x
→ → →∞ →∞
⎡⎤
+
++
== = ==
+
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
Итак,
0
ln(1 )
lim 1
x
x
x
→
+
=
,
(2.28)
откуда следует, что
ln(1 )
x
x+ :
при
0x →.
Под вторым "замечательным пределом" обычно понимают уже знакомый нам
предел
0
1
lim
(1 )
x
x
e
x
→
=
.
+
(2.29)
Пример 2.18.
00
sin 2 2 1
lim lim
ln(1 6 ) 6 3
xx
xx
xx
→→
=
=,
+
так как
sin
α
α
:
при
0
α
→
,
ln(1 )
β
β
+
:
при
0
β
→
(здесь
2
x
α
=
,
6
x
β
=
).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- …
- следующая ›
- последняя »
