Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

11
11
() () () ()
lim lim
() () () ()
xa xa
xxxx
xxxx
ααβα
βαββ
→→
⎛⎞
=
⋅⋅ =
⎜⎟
⎝⎠
1
1
() () () ()
lim lim lim lim
() () () ()
xa xa xa xa
x
xx x
x
xx x
α
βα α
αββ β
→→→ →
⋅
⋅=.
Теорема 2.25 (необходимое и достаточное условие эквивалентности).
Для того, чтобы функции
()
x
α
и
()
x
были при
x
a→
эквивалентными
бесконечно малыми, необходимо и достаточно, чтобы разность
() ()
x
x
α
β
−
была бесконечно малой более высокого порядка, чем
()
x
α
или
()
x
.
(() ()при )xxxa
α
β
→⇔:
() () () ()
lim 0 lim 0
() ()
xa xa
xx xx
xx
αβ αβ
αβ
→→
⎛⎞
−−
⇔
=∨ = .
⎜⎟
⎝⎠
Доказательство. Необходимость. Пусть
() ()
x
x
α
β
:
при
x
a→
. Тогда
() () () ()
lim lim(1 ) 1 lim 1 1 0
() () ()
xa xa xa
xx x x
xxx
α
βββ
ααα
→→ →
−
=
− =− =−=;
() () () ()
lim lim( ) lim 1 1 1 0,
() () ()
xa xa xa
xx x x
xxx
α
βαα
βββ
→→→
−
=
= −=−=
откуда следует, что
() () 0( ())
x
xx
α
βα
−=
и
() () 0( ())
x
xx
α
ββ
−
=
.
Достаточность. Пусть, например,
() () 0( ())
x
xx
α
βα
−
=
, тогда
() () () ()
lim 0 или lim(1 ) 0 lim 1 ( ) ( )
() () ()
xa xa xa
xx x x
x
x
xxx
α
βββ
αβ
ααα
→→→
−
=−=⇒=⇒.:
Теорема 2.24 играет большую роль при вычислении пределов. Из формулы
(2.25) следует, что если функция, предел которой разыскивается, имеет
множителем или делителем некоторую бесконечно малую, то эту бесконечно
малую можно заменить любой эквивалентной ей бесконечно малой.
С теоремой 2.25 связан важный вопрос о приближенном представлении
одной функции посредством другой. Пусть
() ()
x
x
α
β
:
, если
x
a→
.
Положим приближенно
() ()
x
x
α
β
≈
.
(2.26)
Абсолютная и относительная погрешности этого равенства соответственно

Страницы