Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

перехода.
Так как все элементарные функции непрерывны в каждой точке области
определения ( теорема 2.22), то имеет место следующее правило предельного
перехода.
Если
a
принадлежит области определения элементарной функции
()
f
x
,
то для отыскания предела этой функции при
x
a→
достаточно вычислить
значение функции при
x
a=
; это значение и будет искомым пределом.
Приведем примеры вычисления пределов.
Пример 2.14.
2
11
lim 1
121
x
x
→
=
=;
−−
Пример 2.15.
2
222
limsin sin sin 0 0
112
x
x
x
→−
+−+
⎛⎞⎛ ⎞
=
==;
⎜⎟⎜ ⎟
+−
⎝⎠⎝ ⎠
Пример 2.16.
32
2
limlg 3 lg 2 3 lg1 0
x
x
→
−
=−==.
В том случае когда, точка
a
не принадлежит множеству определения
функции
()
f
x
, для отыскания предела этой функции при
x
a→
можно
пытаться использовать свойства бесконечно малых и бесконечно больших
функций. Если при этом возникает неопределенность
0
0
,
∞
∞
или иная, то
для вычисления предела требуется использование специальных приемов.
В простейших случаях для избавления от неопределенности может
оказаться достаточным выполнения элементарных алгебраических
преобразований.
Пример 2.17.
32
22
11 1
1(1)( 1)
lim lim lim( 1) 1 1 1 1
11
xx x
xxxx
xx
xx
→→ →
−−++
==+−=+−=.
−−
Иногда существенно облегчает задачу избавления от неопределённости
использование эквивалентных бесконечно малых.
2.4 Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные
бесконечно малые
Пусть при
x
a→
функции
()
x
α
=
и бесконечно малы (см.п. 2.2.3).
Вычисление предела
()
lim
()
xa
x
x
α
β
→
,
(2.24)

Страницы