Составители:
Рубрика:
непрерывна в точке
a
тогда и только тогда, когда она непрерывна слева и
непрерывна справа в этой точке.
Отметим также, что, если
()
f
x
непрерывна в точке
a
, то её график не
имеет разрыва в точке
(())afa;
.
2.3.1. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность
элементарных функций
Теорема 2.18 ( о сохранении знака). Если функция
()
f
x
непрерывна и
отлична от нуля в точке
a
, то существует достаточно малая окрестность
точки
a
в которой функция
()
f
x
сохраняет тот же знак, который она имеет
в точке
a
.
Доказательство. По условию
()
f
x
непрерывна в точке
a
. Тогда по
определению 2.13
lim ( ) ( )
xa
f
xfa
→
=
, то есть, для любого
0
ε
>
найдется такое
0
δ
>
, что
() ( () () ) ( () () () )x a fx fa fa fx fa
δ
ε
εε
∀∈ : | − |< ⇒ − < < + .R
Пусть
() 0fa>
. Положим
12 ( )
f
a
ε
=
/
, тогда
() () () 12 () 0xafxfa fa
δ
ε
∀∈ : > − =/ >,R
что и требовалось доказать.
Теорема 2. 19 (о непрерывности суммы, произведения, разности). Если
функция
()
f
x
и
()gx
непрерывны в точке
a
, то в этой точке непрерывны и
функции
()Cf x
, где
()Cconst=
, f(x)+g(x),
() ()
f
xgx
⋅
,
()
()
f
x
g
x
) При этом
последняя функция будет непрерывна при условии
() 0ga
≠
.
Доказательство. Доказательство теоремы основывается на формулах
(2.14), (2.15) и на определении (2.13) непрерывности функции в точке.
Например,
lim[ ()()] lim ()lim () ()()
xa xa xa
f
xgx f x gx f xgx
→→→
=
⋅= ,
отсюда сразу следует непрерывность функции
()()
f
xgx
в точке
a
.
Приведем без доказательства следующие важные теоремы.
Теорема 2.20 (о непрерывности сложной функции). Пусть
()yfu
=
,
()ux
ϕ
=
. Если функции
()
x
ϕ
и
()
f
u
непрерывны в соответствующих
точках
a
и
()ba
ϕ
=,
то сложная функция
(())
f
x
ϕ
непрерывна в точке
a
.
Теорема 2.21 (о непрерывности обратной функции). Если функция
()yfx=
взаимно-однозначна в некоторой окрестности точки
a
и
непрерывна в точке
a
, то обратная функция
()
x
y
ϕ
=
непрерывна в
соответствующей точке
()bfa
=
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
