Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

(0) (0) ()
f
afafa
−
=+=
(2.21)
При доказательстве многих теорем используется необходимое и
достаточное условие непрерывности, сформулированное на языке
бесконечно малых.
Обозначим
x
xa
Δ
=−
и назовем
x
Δ
приращением аргумента в точке
a
(при переходе к точке
a
). Обозначим
() ()yfx fa
Δ
=−
и назовем
y
Δ
приращением функции
()
f
x
в точке
a
, соответствующим приращению
аргумента
Δ
.
Теорема 2.17 (Необходимое и достаточное условие непрерывности на
языке бесконечно малых ). Функция, определенная в окрестности
()a,∈XX
называется непрерывной в точке
a
, если при стремлении к нулю
x
yΔ, Δ
также стремиться к нулю.
0
lim 0
x
y
Δ→
Δ
→
(2.22)
Доказательство. Действительно, пусть функция
()
f
x
непрерывна по
определению 2.13. Тогда согласно равенству (2.20)
lim ( ) ( )
xa
f
xfa
→
=
.
Отсюда получим, что
()0
(lim () () 0) (lim () () 0)
xa xa
fx fa fx fa
→−→
−
=⇒ | − |=.
Используя обозначения приращения аргумента и приращения функции,
перепишем последнюю формулу в виде равенства (2.22). Необходимость
доказана. Проведя эти же рассуждения в обратном порядке, докажем
достаточность.
Иначе говоря, функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда
бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое
приращение функции.
Отметим, что в некоторых учебниках это необходимое и достаточное
условие приводитс
я в качестве определения непрерывности функции в точке.
В том случае, когда функция определена на промежутке
(]aha−,
(или
[)aa h,+
), где
0h >
и значение соответствующего одностороннего предела
равно
()
f
a
, то говорят об односторонней непрерывности функции в этой
точке.
Определение 2.15. Функция
()yfx
=
, определенная на промежутке
(]aha−,
(или
[)aa h,+
) называется непрерывной слева (непрерывной
справа), если
00
lim ( ) ( ) ( lim ( ) ( ))
xa xa
f
xfa fxfa
→− →+
=
=
Очевидно, что функция, определенная в окрестности
X
,
()a
∈
X

Страницы