Составители:
Рубрика:
lim ( ) lim ( ) lim ( ) (lim ( ))
n
xa xa xa xa
f
xfx fx fx
→→ → →
=⋅ = .L
(2.18)
Это означает, что при отыскании предела натуральной степени можно
переходить к пределу в основании степени.
Из формулы (2.15), в силу свойства (2.3) при
1
()
f
xC
=
получаем
222
lim( ( )) lim lim ( ) lim ( )
xa xa xa xa
Cf x C Cf x C f x
→→→ →
=
⋅= ,
(2.19)
то есть постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Доказанная теорема не только характеризует свойства предельного
перехода как операции, но и лежит в основе фактического вычисления
пределов рациональных функций. С ее помощью можно вычислить предел
любой рациональной функции. Так, далее в примерах используются
формулы (2.14)-(2.15), (2.2), (2.3), (2.18), (2.19) и результат примера 1.4.
Пример 2.7.
333
1111
lim(3 2 4 ) lim3 2lim 4(lim ) 3 2 4 1 5
xxxx
xx x x
→→→→
−+ = − + =−⋅⋅=.
Пример 2.8.
0
0
0
4lim(4)04
lim 4
21lim(21)01
x
x
x
xx
xx
→
→
→
−
−−
=
==−.
+++
Пример 2.9. Рассмотрим подробно вычисление
2
22
1
0
lim
x
x
x
+
−
→
.
Имеем
1
lim( 1) 0
x
x
→
−=,
следовательно, функция
1
x
−
бесконечно мала в точке
1
x
=
. Тогда обратная ей функция
1
1
x
−
бесконечно велика в этой точке
(теорема 2.11). Так как
2
1
lim(2 2) 4
x
x
→
+
=
, то есть конечен, то функция
2
22x
+
ограничена в некоторой окрестности точки
1
x
=
. Тогда (см. теорему 2.15)
получаем
2
2
11
22 1
lim lim (2 2)
11
xx
x
x
xx
→→
+
⎡⎤
=
+⋅ =∞
⎢⎥
−−
⎣⎦
.
Заметим, что обычно при вычислении подобных пределов запись ведется
с использованием символических равенств
1
0
=
,
∞
1
0
=∞
(см. замечание к
теореме 2.11).
Итак,
2
2
1
22
1
1
1
lim(2 2)
4
lim 4
lim( 1) 0
x
x
x
x
x
x
x
→
+
−
→
→
+
===⋅∞=∞.
−
Пример 2.10.
1
1
lim( 4)
4
4
lim 4 0 0
2lim( 2)
x
x
x
x
x
xx
→∞
→∞
→∞
+
+
=
==⋅=.
++∞
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
