Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Пусть
12
min( )
δ
δδ
=,
. Тогда
() {}
x
Ra a
δ
∀
∈ 5
одновременно
1
()
2
x
ε
α
<
и
2
()
2
x
ε
α
<
, а потому для тех же
() {}
x
aa
δ
∈
R 5
будет
12 1 2
() () () ()
22
xx x x
ε
α
ααα ε
+≤+ <+=,
откуда следует что,
12
lim( () ()) 0
xa
xx
α
α
→
+
=.
Но последнее и означает, что
функция
12
() ()
x
x
α
α
+ бесконечно мала в точке
a
.
Теорема 2.14 (о произведении ограниченной и бесконечно малой).
Произведение функции
()
f
x
, ограниченной в достаточно малой
окрестности точки
a
и функции
()
x
α
,
бесконечно малой в этой точке, есть
функция бесконечно малая в точке
a
.
Доказательство. Так как функция
()
f
x
ограничена в достаточно малой
окрестности точки
a
, то
0p∃>
, что
() ()
x
afx p
δ
∀
∈:≤,R
(2.13)
а из того, что
()
x
α
бесконечно малая в точке
a
следует, что
00
ε
δ
∀>∃>,
что
() {} ()xaax
p
δ
ε
α
∀∈ : <R 5
при этом
ε
берем настолько малым, чтобы для соответствующего
δ
действительно выполнилось условие (2.13). Но тогда для тех же
() {}
x
aa
δ
∈R 5
будет
() () () ()fxxfxxp
p
ε
α
αε
⋅
=<⋅=,
откуда и следует, что
0
lim( () ()) 0
x
fx x
α
→
⋅
=.
Теорема доказана.
Замечание 1. Воспользовавшись определением ограниченной функции
(см.п. 2.8), легко заметить, что всякая постоянная функция
()
f
xC
=
ограничена в окрестности любой точки. Это позволяет сформулировать
следующее утверждение:
Следствие 1 теоремы 2.14 Произведение
()Cx
α
постоянной
C
на
бесконечно малую в точке
a
функцию
()
x
α
есть функция, бесконечно малая
в этой точке.
Замечание 2. Из определения бесконечно малой функции (опр.2.11) и
теоремы 2.7 вытекает, что функция
()
x
α
, бесконечно малая в точке
a
,
ограничена в некоторой окрестности этой точки. Поэтому имеет место и
второе следствие.
Следствие 2 теоремы 2.14 Произведение
12
() ()
x
x
α
α
⋅
двух функций
бесконечно малых в точке
a
есть функция бесконечно малая в этой точке.
Сформулируем теорему, которая может быть полезна при работе с
бесконечно большими функциями.
Теорема 2.15. Если при
x
a→
функция
()gx
стремится к отличному от
нуля пределу, а
()
f
x
- бесконечно большая при
x
a→
, то произведение

Страницы