Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

() ()gx f x⋅
является бесконечно большой функцией при
x
a→.
Доказательство этой теоремы очевидным образом следует из определения
2.12 и теоремы 2.11 по аналогии с доказательством теоремы 2.14.
2.2.4 Теорема о конечных пределах
Содержание этого пункта представляет собой одну из важнейших теорем
теории пределов. Сформулируем её.
Теорема 2.16 ( о конечных пределах). Если при
x
a→
функции
1
()
f
x и
2
()
f
x
стремятся каждая к своему конечному пределу, то
12 1 2
lim[ () ()] lim () lim ()
xa xa xa
f
xfx fx fx
→→→
+
=+;
(2.14)
12 1 2
lim[ () ()] lim ()lim ()
xa xa xa
f
xfx fx fx
→→→
⋅
=⋅;
(2.15)
11
2
22
() lim ()
lim lim ( ) 0
() lim ()
xa
xa xa
xa
fx fx
fx
fx fx
→
→→
→
,≠.
(2.16)
Доказательство. Так как доказательство всех частей теоремы проводится
по одной и той же схеме, докажем только одну из этих частей, например,
вторую (соответственно, доказательства первого и третьего утверждений
предлагаются студентам в качестве упражнения).
Пусть
11 2 212
lim ( ) lim ( ) где и числа
xa xa
fx A fx A A A
→→
=, =, − .
(2.17)
Отсюда (теорема 2.12) следует, что
111 2 22
() () () ()
f
xA x fxA x
ϕ
ϕ
=
+, =+,
где
функции
1
()
x
α
и
2
()
x
α
бесконечно малы в точке
a
. Тогда
12 11 22 1221 12 12
( ) ( ) ( ( ))( ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( ))
f
xfx A xA x AA A x A x x x
α
αααα
⋅=+ +=+ + + .
Все слагаемые в последней скобке бесконечно малы в точке
a
(следствия
теоремы 2.14), а потому и вся эта скобка является функцией, бесконечно
малой в точке
a
( теорема 2.13). Итак, функция
12
() ()
f
xfx⋅
равна сумме
числа
12
AA⋅
и некоторой бесконечно малой в точке
a
функции, откуда
(теорема 2.12) следует, что
12 12
lim( () ())
xa
f
xfx AA
→
⋅
=⋅,
но на основании предположения (2.17) это и есть равенство (2.15).
Формулы (2.14) и (2.15) обобщаются на любое конечное число слагаемых
(или, соответственно, сомножителей). В частности, для любого
n∈N
имеем
lim( ( )) lim[ ( ) ( ) ( )]
n
xa xa
fx fx fx fx
→→
=
⋅=L

Страницы