Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

функция
1
x
- бесконечно малая при
x
→∞
, то есть
1
lim 0
x
x
→∞
=
.
Замечание. Иногда тот факт, что бесконечно малая и бесконечно большая
функции взаимно обратны, записывается одним из следующих
символических равенств:
1
0
=
∞
и
1
0
=
∞
. Эти равенства не выражают
никакой количественной связи (ибо деление на 0 невозможно, а
∞
- не
число) и понимать их надо только в указанном предельном смысле.
Бесконечно малые функции играют существенную роль в математическом
анализе, связанную, в частности, с тем, что определение конечного предела
может быть сведено к понятию бесконечно малой. Это вытекает из
следующей теоремы.
Теорема 2.12. (Необходимое и достаточное условие существования
конечного предела) Для того, чтобы функция
()
f
x
при
x
a→
стремилась к
конечному пределу
, необходимо и достаточно, чтобы функция
() ()
x
fx A
α
=−
была бесконечно малой в точке
a
.
Доказательство. Необходимость. Если
lim ( )
xa
f
xA
→
=
, то
00 (){}()xaafxA
δ
ε
δε
∀
>∃ > :∀∈ ⇒ − <.R 5
Очевидно, что
() () 0fx A x
ε
αε
−<⇒ −<
. Откуда немедленно следует, что
lim ( ) 0
xa
x
α
→
=
.
Достаточность. Если
lim ( ) 0
xa
x
ϕ
→
=
, то
00 (){}()0xaa x
δ
ε
δαε
∀
>∃>:∀∈ ⇒ − <.R 5
Так как
() 0 ()xfxA
α
εε
−<⇒ − <,
то это и означает, что
lim ( )
xa
f
xA
→
=
.
Доказанную теорему можно сформулировать иначе: функция
()
f
x
при
x
a→
стремится к конечному пределу
тогда и только тогда, когда
()
f
x
равна сумме числа
и некоторой функции
()
x
α
, бесконечно малой в точке
a
() ()
f
xA x
α
=
+.
(2.12)
Докажем некоторые свойства бесконечно малых и бесконечно больших
функций.
Теорема 2.13 (о сумме конечного числа бесконечно малых). Сумма
конечного числа бесконечно малых в точке
a
функций есть также функция,
бесконечно малая в этой точке.
Доказательство. Проведем его для случая двух слагаемых (общий случай
можно доказать аналогично). Пусть функция
1
()
x
α
и
2
()
x
α
- бесконечно
малые в точке
a
, то есть
1
lim ( ) 0
xa
x
α
→
=
и
2
lim ( ) 0
xa
x
α
→
=
. Тогда
1
11
00 (){}()
2
xaax
δ
ε
εδ α
∀>∃ >:∀∈ : <R 5
и
2
22
0(){}()
2
xaax
δ
ε
δα
∃>:∀∈ : <.R 5

Страницы