Составители:
Рубрика:
функция
()
f
n
возрастающая (то есть монотонная). Докажем, что
рассматриваемая функция
()
f
n
ограничена. Заменим с этой целью единицей
каждую скобку в правой части (а все эти скобки меньше 1). В результате
правая часть возрастет, и мы получим оценку
11 1
1
() 2
(1 )
223 23
n
fn
n
n
=<++++.
+
⋅⋅
L
L
Усилим это неравенство, заменив в знаменателях его правой части числом 2
все множители, отличные от 2
21
11 1
1
() 2
(1 )
22 2
n
n
fn
n
−
=<++++.
+
L
В правой части, начиная со второго члена, мы имеем сумму членов
геометрической прогрессии, которая равна
1
1
1
2
n
−
−
. Это число меньше
единицы.
Таким образом,
1
() 2 1 3
(1 )
n
nfn
n
∀∈ : = < +=.
+
N
Рассматриваемая функция возрастает, в силу чего наименьшее значение
она имеет при
1n =
; это значение равно
(1) 2f
=
.
Итак,
n∀∈ :N
2()3fn≤<,
откуда и следует ограниченность
()
f
n
.
Таким образом, на множестве
N
натуральных чисел функция
1
()
(1 )
n
fn
n
=
+
монотонна и ограничена, откуда в силу теоремы (2.10) следует, что при
n →+∞
эта функция стремится к конечному предeлу. Предел этот
называется неперовым числом и обозначается буквой
e
. Итак,
1
lim
(1 )
n
n
e
n
→∞
=
.
+
Можно показать, что и вообще
1
lim
(1 )
x
x
e
x
→∞
=
.
+
Доказано, что
e
- число иррациональное, то есть, оно выражается
бесконечной непериодической десятичной дробью. В дальнейшем будет
изложен метод, позволяющий вычислить любое число десятичных знаков
этой дроби; пока же приведем несколько первых ее значащих цифр:
2 718281828e
=
, L
Неперово число
e
играет большую роль в математике. В частности, в
теоретических исследованиях бывает особенно выгодно пользоваться
логарифмами, основанием которых служит неперово число. Такие
логарифмы называются натуральными. Натуральный логарифм числа
x
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
