Составители:
Рубрика:
Доказательство. В соответствии с определением предела функции (см.
опр. 2.7) равенства (2.8) означают, что
0
ε
∀
>
1
0
δ
∃
>,
такое что
1
()
x
a
δ
∀∈ ,R
где
x
a≠
верно:
1
() ( )
f
xA
ε
∈
R
. Аналогично
2
0
δ
∃>, такое что
2
3
() () ( )
x
afx A
δε
∀∈ : ∈ .RR
Пусть
12
min( )
δ
δδ
=,.
Тогда ()
x
A
δ
∀
∈R выполнены соотношения
13
() ( ) и () ( )
f
xAfxA
εε
∈
∈.RR
Но тогда в силу (2.7) для всех
()
x
a
δ
∈
R
и
2
() ( )
f
xA
δ
∈
.R
Отсюда и следует
утверждение (2.9). Теорема доказана.
Приведем без доказательства еще одну теорему, позволяющую установить
наличие предела функции, хотя и не дающую возможности найти этот
предел.
Теорема 2.10 (o пределе монотонной ограниченной функции)
Пусть функция
()
f
x
монотонна и ограничена в окрестности точки
a
.
Тогда существуют конечные левый и правый пределы
()
f
x
в точке
a
, если
a
- конечная точка, и конечный предел
()
f
x
при
x
a→
, если
a
=
+∞
или
a →= −∞.
Примером использования последней теоремы служит введение неперова
числа.
Рассмотрим функцию
1
()
(1 )
n
fn
n
=
+
натурального аргумента
n
.
Преобразуем эту функцию, используя бином Ньютона
122 33
(1) (1)(2)
()
12 3
n
nn n n
nnn nnn
aab ab ab
ab
−− −
−
−−
=+ + + +
+
!! !
L
(1)(2)[(1)]
n
nn n n n
b
n
−
−−−
+.
!
L
L
Положив здесь
11abn=, =/,
получим
23
1 ( 1) 1 ( 1)( 2) 1
1
() 1
(1 )
12 123
n
nn nn n
fx n
nn n
n
−−−
==++⋅+ ⋅
+
⋅⋅⋅
+
(1)( 2)[(1)]1 1 1 1 1 2
2 (1) (1)(1)
123 2 23
n
nn n n n
nn n nn
−− −−
+⋅=+−+−−+
⋅⋅ ⋅
L
LL
L
112 1
(1 )(1 ) (1 )
123
n
nn n n
−
+−−−.
⋅⋅
LL
L
Пусть аргумент функции возрастает от
n
до
(1)n +.
Тогда с одной
стороны, увеличатся все члены в выражении написанном выше, так как
величины в скобках возрастут с заменой
n
на
(1)n
+
, а с другой стороны,
добавится одно положительное слагаемое. Следовательно,
(1) ()
f
nfn+>
и
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »