Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 35 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. В соответствии с определением предела функции (см.
опр. 2.7) равенства (2.8) означают, что
0
ε
>
1
0
δ
>,
такое что
1
()
x
a
δ
∀∈ ,R
где
x
a
верно:
1
() ( )
f
xA
ε
R
. Аналогично
2
0
∃>, такое что
2
3
() () ( )
x
afx A
δε
∀∈ : .RR
Пусть
12
min( )
δ
δδ
=,.
Тогда ()
x
A
δ
R выполнены соотношения
13
() ( ) и () ( )
f
xAfxA
εε
∈.RR
Но тогда в силу (2.7) для всех
()
x
a
δ
R
и
2
() ( )
f
xA
δ
.R
Отсюда и следует
утверждение (2.9). Теорема доказана.
Приведем без доказательства еще одну теорему, позволяющую установить
наличие предела функции, хотя и не дающую возможности найти этот
предел.
Теорема 2.10 (o пределе монотонной ограниченной функции)
Пусть функция
()
f
x
монотонна и ограничена в окрестности точки
a
.
Тогда существуют конечные левый и правый пределы
()
f
x
в точке
a
, если
a
- конечная точка, и конечный предел
()
f
x
при
x
a
, если
a
=
+∞
или
a →= .
Примером использования последней теоремы служит введение неперова
числа.
Рассмотрим функцию
1
()
(1 )
n
fn
n
=
+
натурального аргумента
n
.
Преобразуем эту функцию, используя бином Ньютона
122 33
(1) (1)(2)
()
12 3
n
nn n n
nnn nnn
aab ab ab
ab
−−
−−
=+ + + +
+
!! !
L
(1)(2)[(1)]
n
nn n n n
b
n
−−
+.
!
L
L
Положив здесь
11abn=, =/,
получим
23
1 ( 1) 1 ( 1)( 2) 1
1
() 1
(1 )
12 123
n
nn nn n
fx n
nn n
n
−−
==+++
+
⋅⋅
+
(1)( 2)[(1)]1 1 1 1 1 2
2 (1) (1)(1)
123 2 23
n
nn n n n
nn n nn
−−
+⋅=+++
⋅⋅
L
LL
L
112 1
(1 )(1 ) (1 )
123
n
nn n n
+−.
⋅⋅
LL
L
Пусть аргумент функции возрастает от
n
до
(1)n +.
Тогда с одной
стороны, увеличатся все члены в выражении написанном выше, так как
величины в скобках возрастут с заменой
n
на
(1)n
+
, а с другой стороны,
добавится одно положительное слагаемое. Следовательно,
(1) ()
f
nfn+>
и