Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

утверждать единственность предела функции. Опираясь на теорему (см.
теорему 2.3.) можно доказать также ограниченность функции, имеющей
конечный предел при
x
a→
, в некоторой окрестности данной точки
a
.
Используя же теорему о предельном переходе в неравенстве (см. теорему 2.4)
можно получить аналогичный результат для функций. Приведем без
доказательства соответствующие теоремы.
Теорема 2.6 Если при
x
a→
функция
()
f
x
стремится к конечному
пределу, то этот предел является единственным.
Теорема 2.7 Если при
x
a→
функция
()
f
x
стремится к конечному пределу,
то в некоторой окрестности
X предельной точки
a
эта функция
ограничена.
Теорема 2.8 Если при
x
a→
функция
()
f
x
стремится к конечному пределу
A
и в некоторой окрестности X точки
a
эта функция положительна
(отрицательна), то
0A ≥
(
0A
≤
).
2.2.1 Односторонние пределы функции
Пусть
a
- конечная точка (число). Определение предела функции
()yfx=
в точке
a
(при
x
a→
) не накладывает никаких условий на характер
приближения значений аргумента
x
к точке
a
. Введем теперь
дополнительно такие условия: пусть значения
x
приближаются к
a
,
оставаясь при этом строго меньше
a
, либо больше
a
, то есть, находясь либо
в левой, либо в правой окрестности точки
a
(п.1.3.4), и сформулируем два
определения.
Определение 2.9. Если
0()0
ε
δδε
∀
>∃ = >
что из условия
()
x
a
δ
−
∈R
следует условие
() ( )
xA
ε
∈R
, то
A
называется левым пределом функции
()
f
x
в точке
a
и обозначается одним из символов
(0),fa
−
0
lim ( )
xa
f
x
→−
,
lim ( )
xa
xa
f
x
→
<
.
Определение 2.10. Если
0()0
ε
δδε
∀
>∃ = >
что из условия
()
x
a
δ
+
∈R
следует условие
() ( )
f
xA
ε
∈R
, то
A
называется правым пределом функции
()
f
x
в точке
a
и обозначается одним из символов
0
(0) lim() lim()
xa
xa
xa
f
afxfx
→
→+
>
+, , .
Итак:
0
(lim () ) ( 0 () 0 () () ( ))
xa
f
xA x a fx A
δε
εδδε
−
→−
= ⇔∀>∃= >:∈ ⇒ ∈ ;RR
(2.4)
0
(lim () ) ( 0 () 0 () () ( ))
xa
f
xA x a fx A
δε
εδδε
+
→+
=
⇔∀ >∃ = > : ∈ ⇒ ∈ .RR
(2.5)

Страницы