Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Для указанного значения
(0)
δ
δ
>
существует число
N
такое, что при
nN>
выполняется неравенство
n
xa
δ
−
<
. Следовательно, согласно определению
2.7,
()fx A
ε
−<.
Так как
ε
выбиралось произвольно, то это и означает, что
()
n
f
xA→.
Тем самым, доказано, что для любой последовательности
{} ( 0)
nn
xx,≠
сходящейся к
a
, последовательность {( )}
n
f
x сходится к
A
.
Итак из определения 2.7 следует определение 2.8.
Докажем обратное. Пусть
A
- предел
()
x
в смысле второго определения.
Покажем, что
A
- предел функции
()
x
при
x
a→
и в смысле первого
определения. Проведем доказательство от противного. Предположим, что
число
A
не является пределом
()
x
при
x
a→
в смысле первого определения.
Тогда существует хотя бы одно такое число
0
0
ε
>, что для каждого
0
δ
>
найдется число
x
, удовлетворяющее условию
0 xa
δ
<
−<
, для которого
0
()fx A
ε
−≥
.Рассмотрим последовательность чисел
123 n
δ
δδ δ
,,,,,,LL
стремящуюся к нулю, например,
1
{}{}
n
n
δ
=
.
Тогда для каждого
n
δ
найдется
свое
nn
x
xa,≠ такое, что
nn
xa
δ
−
<
, в то время как
0
()
n
fx A
ε
−≥.
Так как
lim 0
nn
δ
→∞
=
, то, переходя к пределу в неравенстве
nn
xa
δ
−
<
, получим, что
lim 0
nn
xa
→∞
−=
(см. теорему (2.4)), то есть, что
n
x
a→
. Но в то же время
последовательность
{( )}
n
f
x
не сходится к
A
(так как при
n
имеет место
неравенство
()
n
fx A
ε
−≥
). Полученное противоречие доказывает обратное
утверждение.
Заметим, что второе определение дает возможность установить
отсутствие предела функции при определенном значении аргумента.
Пример 2.5. Покажем, что функция
1
() sinfx
x
=
не имеет предела при
0x →.
Действительно, возьмем последовательность
11
{}{ } где 0 Тогда ()sin 0
nn
xfxn
nn
π
ππ
=, →. = =.
Следовательно,
() 0
n
fx →.
Возьмем теперь последовательность
22
{}{ } где 0
(4 1) (4 1)
n
x
nn
ππ
=, →.
++
(4 1)
При этом ()sin sin 1 Откуда () 1
22
n
n
fx fx
π
π
+
′′
===. →.
Следовательно, функция
1
siny
x
=
при
0x →
не имеет предела, так как для
двух различных последовательностей
{}
n
x
, сходящихся к нулю, получаем
различные пределы значений функции.
Исходя из эквивалентности двух определений предела, а также из
единственности предела последовательности (см. теорему 2.2), можно

Страницы