Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Докажем также важную теорему.
Теорема 2.4 (о предельном переходе в неравенстве). Если последова-
тельность
{}
n
x
сходится и
0
n
x ≥
при любом
n
, то
lim 0
nn
x
→∞
≥
.
Доказательство. Пусть
lim 0
nn
xa
→∞
=
<
. Тогда для произвольного числа
0
ε
>
найдется номер
N
, такой что при
nN>
будет выполнятся неравенство
n
ax
ε
|− |<. Выберем такое
ε
, что
0
2
a
ε
|
|
<
<
. Тогда на основании неравенства
n
xa
<+ получим, что
0при
22
n
aa
x
anN
|
|
<
+=< >.
Это противоречит условию теоремы. Исходное утверждение доказано.
В частности, если последовательность
{}
n
x
сходится и при всех
n
выполнено неравенство
0
n
x > , то lim 0
nn
x
→∞
≥ .
2.2 Определение предела функции
Пусть функция
()yfx=
задана в некоторой окрестности конечной или
бесконечной точки
a
, причем если
a
- конечная точка (число), то в самой
этой точке функция может быть и не определена. Часто бывает, что с
приближением значений аргумента
x
и
a
соответствующие значения
функции
()yfx=
приближаются к некоторому
A
(где
A
- конечная или
бесконечная точка). Таким образом, ясно что для точек
x
, принадлежащих
достаточно малой окрестности
a
соответствующие точки
()yfx
=
принадлежат сколь угодно малой окрестности
A
.
Определение 2.7. Если для любого наперед заданного положительного
числа
ε
можно указать такое положительное число
()
δ
δε
=
,
зависящее от
ε
,
что из условия
()
x
a
δ
∈R (
x
a
≠
, если
a
-число) следует () ( )
f
xA
ε
∈R , то
A
называется пределом функции
()
f
x
в точке
a
(или при
x
, стремящемся к
a
).
В этом случае пишут
lim ( )
xa
f
xA
→
=
или
()
f
xA→
при
x
a→
.
В зависимости от того, конечны или бесконечны
a
и
A
, использование
соответствующих определений (см. пункт 1.3.4) окрестностей позволяет
приведенное выше общее определение предела функции формулировать для
различных случаев на языке неравенств.
Так, если
a
и
A
числа, то запись
lim ( )
xa
f
xA
→
=
означает, что
0
ε
∀>
()
δ
δε
∃=
такое, что из условия
0()xa fx A
δ
ε
<
−<⇒| −|<.
(lim ( ) )
xa
fx A
→
=⇔
(0 ()0 () )xa fx A
ε
δδε δ ε
∀>∃= :<−<⇒ −<.
(2.1)
Принадлежность точки
x
δ
- окрестности точки
a
мы записываем здесь в
виде
0 xa
δ
<−<
исключая, тем самым, из рассмотрения точку
x
a
=
, в
которой функция
()
f
x
может быть не определена.
Если
a
- число,
A
=+∞
, то имеем определение

Страницы