Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

22 2
(lim ) ( ( ) )
nn
n
xb N N nN xb
ε
ε
→∞
=⇒∃= :> ⇒ −<.
Пусть
N
- наибольшее из чисел
1
N и
2
N , то есть
12
max{ }NNN
=
,.
Следовательно, при
nN>
оба неравенства будут выполнятся
одновременно, то есть
n
xa
ε
−<
и
n
xb
ε
−
<.
В силу этого, для
nN>
()() 2
nn nn
ab ax x b ax x b
ε
−= − + − ≤− + −<
для любого положительного числа
ε
.
Взяв
1
2
ab
ε
−, получим
2ab
ε
−> ,
что
противоречит написанному выше неравенству. Полученное противоречие
говорит о неверности предположения. Теорема доказана.
Теорема 2.3 (об ограниченности последовательности, имеющей
конечный предел). Если последовательность имеет конечный предел, то
она ограничена.
Доказательство. По условию,
lim .
n
n
x
a
→∞
=
Следовательно, для
1
ε
=
найдется
(1)NN=
, такое, что для любого
nN>
будет выполнено неравенство
1
n
ax|− |<.
Тогда для всех
nN>
получим:
() 1
nn n
x
xaa xaa a=−+≤−+<+.
Пусть теперь
12
{1}
N
M
maxxxxa=||,||,,||,+||.L
Тем самым, для всех
n
∈
N
обеспечено выполнение неравенства
n
x
M
|
|≤
. Ограниченность
последовательности
{}
n
x
доказана (см. определение 2.2).
Замечание. Обратная теорема не верна. То есть, из ограниченности
последовательности не следует ее сходимость.
Действительно, последовательность
{}{(1)}
n
n
x =−
ограничена, так как
n∀∈N
верно неравенство
1
n
x
|
|≤
. Но при этом она не имеет предела.
Покажем это.
Заметим, что все члены данной последовательности, имеющие чётные
номера, равны
1
. Члены последовательности с нечётными номерами равны,
соответственно,
1− . Предположим, что последовательность имеет предел и
этот предел равен
a
. Так как из определения предела (см. опр.2.5,) следует,
что в произвольной окрестности предельной точкой
a
должно быть
бесконечное число членов последовательности, то для данной
последовательности
a
может быть либо равно 1, либо равно 1
−
. Пусть
lim 1
nn
x
→∞
=
. Положим
1
ε
=
. По определению предела найдется
(1)NN
=
такое, что для всех
nN>
должно быть выполнено неравенство 11
n
x|−|<, то
есть
(1) 1 1
n
−−<.
Однако, если
n
- нечетно, то неравенство неверно. Значит,
предложение ложно и
1a ≠.
Аналогично, можно показать, что
1a =−
также не
является пределом данной последовательности. Следовательно, данная
последовательность не имеет предела, то есть расходится.

Страницы