Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

строго в порядке возрастания
123n
=
,,,L
.
Определение 2.5. Число
a
называется пределом последовательности
{}
n
x
,если для любого положительного числа
ε
найдется такой номер
N
,
зависящий от
ε
, что для всех
nN>
выполнено неравенство
n
xa
ε
−<.
Тот факт, что число
a
есть предел последовательности {}
n
x
, записывается
так:
lim
nn
x
a
→∞
= или
n
x
a→ (lim есть сокращение латинского слова limes,
которое означает "предел"). Говорят также, что
a
- предельная точка
последовательности
{}
n
x
.
Итак, по определению,
(lim ) ( 0 ( ) )
nn
n
xa NN nN xa
ε
εε
→∞
=⇔∀>∃= :>⇒−<
Так как
()(())
nn
x
axa
ε
ε
−< ⇔ ∈R
, то требование выполнения неравенства
n
xa
−<
в определении может быть заменено требованием принадлежности
n
x
окрестности (0)
ε
R .
С геометрической точки зрения определение
lim
nn
x
a
→∞
= означает, что
какова бы ни была
ε
- окрестность точки
a
, начиная с некоторого номера,
все точки
n
x
попадут в эту окрестность; то есть вне ее останется лишь
конечное число членов. Отсюда следует, что две последовательности,
отличающиеся между лишь собой конечным числом членов, ведут себя
одинаково с точки зрения наличия у них конечного предела
a
.
Пример 2.4. Докажем, что
(1)
lim 0
n
n
n
→∞
−
=
.
Пусть
ε
- произвольное положительное число Найдем для него такой
номер
N
, для которого выполнение условия
nN>
влечёт за собой вы-
полнение неравенства
(1)
0
n
n
ε
−
−< или, что эквивалентно, неравенства
1 n
ε
/
<
.
Последнее же неравенство выполняется в случае, если
1n
ε
>/
, поэтому
N
можно положить равным целой части числа
1
/
. Тогда из неравенства
(1)
0
n
nN
n
ε
−
>⇒− <
, то есть по определению (см. определение 2.5) данный
предел равен
0
. Что и требовалось доказать.
2.1.5 Бесконечный предел последовательности
Определение предела последовательности, сформулированное с помощью
ε
- окрестности, имеет смысл и в том случае, когда вместо конечного числа
a
стоит бесконечность (
∞, + ∞
или
−
∞
). Получаем:
(lim ) ( 0 ( ) ( ) ( ( ))
nn
n
xNNnNx
ε
ε
εε
→∞
=∞ ⇔ ∀ > ∃ = : > ⇒ ∈ ∞ .R
Вспомним, что
(())(1)
nn
xx
ε
ε
∈∞⇔ >/.R

Страницы