Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Пример 2.2. 1. Последовательность
1
{}{}
n
x
n
= ограничена, так как при
всех
n∈N
верно неравенство
1
n
x
≤
.
2. Последовательность
{}{ 5}
n
xn
=
− ограничена снизу, так как 4
n
x ≥− при
всех
n∈N
.
3. Последовательность
{}{1 }
n
x
n
=
−− ограничена сверху; так как 13
n
x
≤
/.
4. Последовательности
{5}n
−
и
{1 }n
−
−
не являются ограниченными.
Отметим, что, так как последовательности - это функции, заданные на
подмножестве
N
множества R (см. определение 2.1), то они обладают всеми
теми свойствами ограниченных функций, которые перечислены в пункте
1.4.6.
2.1.3 Монотонность
Определение 2.4. Последовательность
{}
n
x
называется возрастающей ,
если для любых
n∈N
выполняется соотношение
1nn
x
+
>, означающее, что
последующий член последовательности всегда больше предыдущего.
Последовательность
{}
n
x
называется убывающей , если для любых
n
∈
N
выполняется соотношение
1nn
x
+
<
, означающее, что последующий член
последовательности всегда меньше предыдущего.
Если последовательность
{}
n
x
возрастает на или убывает, то она
называется строго монотонной.
Последовательность
{}
n
x
называется неубывающей , если для любых
n
∈
N
выполняется соотношение
1nn
x
+
≥, означающее, что последующий член
последовательности всегда не меньше предыдущего и невозрастающей ,
если для любых
n∈N
выполняется соотношение
1nn
x
+
≤
, означающее, что
последующий член последовательности всегда не больше предыдущего.
Возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие
последовательности называются монотонными.
Пример 2.3. Докажем, что последовательность x
2
1
n
n
=
−
монотонна. Для
доказательства монотонности достаточно определить знак разности
1nn
x
x
+
−
при всех
n∈N
. Итак,
22
22
1
22
(1)1)( 1)
(1)1 1
(1)1 1
nn
nn
xx n n
nn
+
+
−− −
−= + −− −=
+
−+ −
22
21
0 при
(1)1 1
n
n
nn
−
=>∈.
+−+ −
N
Доказано строго монотонное возрастание.
2.1.4. Конечный предел последовательности
Наибольший интерес представляет поведение последовательностей в тех
случаях, когда их аргумент
n
стремится к бесконечности, принимая значения

Страницы