Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

С учетом этого, определение бесконечного предела означает, что для
любого наперед заданного числа
1M
ε
=
/
найдется соответствующее ему
число
N
, такое, что для всех
nN>
выполнено неравенство
n
x
M>.
Определение 2.6. Последовательность, предел которой равен
∞
,
называют бесконечно большой.
Аналогично, вспомнив определения
()
ε
+
∞R и ()
ε
−
∞R (см. опр. 1.14) получим:
1
(lim ) ( 0 ( ) ( ) )
nn
n
xNNnNx
εεε
ε
→∞
=+∞ ⇔ ∀ > ∃ = : > ⇒ > ,
1
(lim ) ( 0 ( ) ( ) )
nn
n
xNNnNx
εεε
ε
→∞
=−∞ ⇔ ∀ > ∃ > : > ⇒ <− .
В первом случае говорят о том, что последовательность
{}
n
x
бесконечно
большая и положительная, а во втором - последовательность называют
бесконечно большой и отрицательной.
Наличие в первом случае конечного числа отрицательных членов, а во
втором - конечного числа положительных членов как отмечалось выше (см.
пункт 2.1.4.) не влияет на предел.
Очевидно, что
lim( 2)
n
x
→∞
=+∞
, а lim(5 )
n
n
→∞
−
=−∞
Принята терминология, согласно которой последовательность, имеющая
конечный предел, называется сходящейся, а имеющая бесконечный предел
или не имеющая предела, называется расходящейся.
Ecли сравнить определения бесконечно большой последовательности (см.
опр. 2.6. ) и неограниченной последовательности (см. опр. 2.3.), то станет
очевидной следующая теорема.
Теорема 2.1(о неограниченности бесконечно большой). Если последова-
тельность
{}
n
x
бесконечно большая, то она неограниченная.
Замечание. Обратная теорема не верна, то есть из неограниченности не
следует существование бесконечного предела.
Действительно, рассмотрим последовательность
1
при нечетном
при четном
n
n
n
x
nn
,−
⎧
=
⎨
,
−.
⎩
Эта последовательность не ограничена, но при этом не является бесконечно
большой, так как вообще не имеет предела.
2.1.6 Свойства последовательностей, имеющих конечный предел
Теорема 2.2 ( о единственности предела). Если последовательность
имеет конечный предел, то этот предел единственен.
Доказательство. Проведем доказательство от противного. Предположим,
что
lim иlim
nn nn
x
axb
→∞ →∞
=, =
, где
ab
≠
.
Возьмем произвольное
0
ε
>.
Тогда
11 1
(lim ) ( ( ) )
nn
n
xa NN nN xa
ε
ε
→∞
=⇒∃= :> ⇒−<,

Страницы