Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Глава 2
Предел функции
2.1 Числовая последовательность
При изучении различных разделов математического анализа достаточно
часто приходится иметь дело с функциями, определенными на множестве
натуральных чисел.
2.1.1 Определение и способы задания числовой последовательности
Определение 2.1. Функция, заданная на множестве натуральных чисел
называется числовой последовательностью.
Итак, пусть задана последовательность
f :→NR
. Значения функции в
данном случае образуют счётное множество и их обычно обозначают так:
123
(1) (2) (3) ( )
n
fxf xf xfnx=, =, =,, =,LL
.
По сложившейся традиции совокупность чисел
12 n
xx x,,,,LL также
называют бесконечной числовой последовательностью и обозначают
{}
n
x
.
При этом сами числа
n
x
называют членами последовательности, а выражение
()
n
x
fn=
- общим членом последовательности
{}
n
x
.
Для задания последовательности достаточно каким-либо способом задать
функцию
f
. Очевидно, что способы ее задания, то есть способы задания
последовательности
{}
n
x
могут быть различны (см. способы задания функций
(пункт 1.4.2)).Очевидно, что последовательность задана, если указан ее
общий член.
Пример 1. 1. Пусть
sin
2
n
n
x
π
=
,
тогда последовательность
{}{sin }
2
n
n
x
π
имеет вид
10 1010,,−,,,,L
.
2. Пусть
1 при нечетном
0 при четном
n
n
x
n
,−
⎧
=
⎨
,− .
⎩
Данная последовательность имеет вид
10101
,
,, ,,L
.
3. Пусть
1
2x = и
1
3
nn
xx
−
=+ для каждого
2n ≥
. Вид последовательности {}
n
x
будет таким:
25811,,, ,L
. Заметим, что рассмотренная последовательность есть
арифметическая прогрессия с первым членом равным
2 и разностью равной
3
.

Страницы