Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

4. Пусть
12 11
01 2
nn n
x
xxxx
+−
=, =, = +
,
2n ≥.
Соответственно, задана
последовательность
012616,, , , ,L
.
Способ задания последовательности, при котором её последующие члены
определяются как функции предыдущих, называется рекуррентным.
Очевидно, что для однозначного задания последовательности в этом случае
необходимо знать начальные данные.
Последовательность
{}
n
x
может быть изображена на числовой оси в виде
последовательности точек, координаты которых равны величинам
соответствующих членов последовательности.
2.1.2 Ограниченность числовой последовательности
Последовательность может быть ограниченной или неограниченной (т.е.
не являющейся ограниченной). Дадим определение ограниченной
последовательности.
Определение 2.2. Последовательность {}
n
x
называется ограниченной,
если существует число
0M >,
такое, что для всех
n∈N
выполняется
неравенство
n
x
M
≤
.
То есть, по определению
({ } ограничена)( 0 )
nn
x
MnxM−⇔∃>:∀∈≤N
или, используя понятие окрестности
({ } ограничена)( 0 (0))
nnL
xLnx−⇔∃>:∀∈∈.NR
Заметим, во-первых, что число
M
не обязано быть наименьшим, из всех
подходящих по условию чисел, а во-вторых, что в качестве числа
L
в
определении, использующем понятие окрестности, можно брать любое
L
,
удовлетворяющее условию
L
M> .
Аналогично, последовательность
{}
n
x
называют ограниченной сверху
(справа), если все ее члены не превосходят некоторого числа
M
, и
ограниченной снизу (слева), если все ее члены не меньше некоторого числа
m
.
Очевидно, что ограниченная последовательность ограничена как слева, так
и справа. Если же последовательность ограничена с одной стороны, то она
может быть неограниченной. Очевидно, что определение неограниченности
(как отрицания ограниченности) будет следующим:
Определение 2.3. Последовательность
{}
n
x
называется неограниченной,
если для любого числа
0M >,
найдется такое
0
n
N , что выполняется
неравенство
0
n
x
M>.
0
0
({ } неограничена)( 0 )
nn
x
Mn xM−⇔∀>:∃∈||>N

Страницы