Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

1
(lim ( ) ) ( 0 ( ) 0 0 ( ) )
xa
fx x a fx
εδδε δ
ε
→
=
+∞⇔∀>∃= >:<−<⇒ > .
При
aA=−∞, =∞
имеем
11
(lim () ) ( 0 () 0 () )
xa
fx x fx
εδδε
δ
ε
→
=∞ ⇔ ∀ > ∃ = > : <− ⇒ > .
В оставшихся случаях определения на языке неравенств строятся
аналогично.
Отметим следующие два очевидных равенства, непосредственно
следующих из определения предела функции (см. формулу. 1).
1).
lim
xa
x
a
→
=
(2.2)
2). Если
()
f
xC=
, где
С const
−
, то
lim ( ) lim
xa xa
f
xCC
→→
=.
(2.3)
Формула (2.2) следует из того, что в этом случае речь идет о пределе
функции, совпадающей со своим аргументом. Формула (1) - из того, что в
этом случае, независимо от характера поведения аргумента, значения
функции всегда принадлежит произвольной
ε
- окрестности точки
C
, так как
просто совпадает с
C
.
Дадим еще одно определение предела функции. Оно использует уже
знакомое определение предела числовой последовательности.
Определение 2.8. Говорят, что
A
есть предел функции
()
f
x
при
x
a→
,
если для любой последовательности
{}
n
x
значений аргумента
x
, сходящейся
к
a
,
()
n
x
a≠
, соответствующая последовательность значений функции
{( )}
n
f
x
стремится к
A
. При этом предполагается, что последовательность
{}
n
x
принадлежит области определения X функции
()
f
x
.
Итак,
(lim ( ) )
xa
fx A
→
=
⇔
(( { } ( ) (lim )) (lim ( ) ))
nn n n
nn
x
xxafxA
→∞ →∞
⇔∀ : ∈ ∧ = ⇒ =X
.
Теорема 2.5 (об эквивалентности определений предела) Данные выше
определения предела функции (см. опр.2.7 и опр.2.8) эквивалентны.
Доказательство. Докажем эквивалентность двух данных определений.
Ограничимся случаем, когда
a
и
A
- числа. В тех случаях, когда хотя бы
одна из этих величин бесконечна, доказательство аналогично.
Пусть
A
- предел функции
()
f
x
при
x
a→
в смысле первого определения.
Выберем произвольное
0
ε
>
, тогда
() 00 ()xa fx A
δ
δε δ ε
∃= >:<|−|< ⇔| −|<.
Рассмотрим любую последовательность
{} 0
nn
xx
,
≠
, такую что
lim
n
n
x
a
→∞
=
.

Страницы