Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Теоремы настоящего пункта лежат в основе методов исследования
функций на непрерывность. Рассмотрим, например, функцию
n
x
при любом
натуральном
n
. В силу формулы (2.18) в любой конечной точке
a
для нее
имеем
(lim )
lim
n
nn
xa
xa
x
x
a
→
→
=
=,
откуда следует непрерывность
n
x
в любой точке числовой оси. Но тогда на
основании теоремы 2.19 можно утверждать, что целая рациональная
функция тоже непрерывна в каждой точке числовой оси, а дробная
рациональная функция непрерывна во всех тех точках
x
, в которых ее
знаменатель не обращается в ноль. Таким образом, всякая алгебраическая
рациональная функция непрерывна в любой точке, принадлежащей её
области определения.
Можно показать, что этим свойством обладает не только алгебраическая
рациональная функция, но и все явные алгебраические и все простейшие
трансцендентные функции. Из этого факта и теорем настоящего пункта,
вытекает следующая теорема.
Теорема
2.22 Любая элементарная функция непрерывна в каждой точке
области определения.
Действительно, любая элементарная функция получается из явных
алгебраических и простейших трансцендентных функций в результате
некоторой последовательности алгебраических операций и конечного числа
взятия функции от функции. Любая алгебраическая операция над
непрерывными функциями также приводит к функции, непрерывной в
каждой точ
ке ее области определения (см. теорему 2.19). Операция взятия
непрерывной функции от непрерывной также дает в результате непрерывную
функцию (см. теорему 2.20). Таким образом, на каждом этапе той
последовательности операций, в результате которой получается
рассматриваемая элементарная функция, непрерывность сохраняются.
Отсюда и вытекает справедливость теоремы.
2.3.2 Вычисление пределов непрерывных функций
Если функция
()
f
x
непрерывна в точке
a
, то согласно (2.13)
lim ( ) ( )
xa
f
xfa
→
=
.
Так как
lim
xa
ax
→
=
, то эту формулу можно переписать так:
lim ( ) (lim )
xa xa
f
xf x
→→
=
.
(2.23)
Последняя формула показывает, что при отыскании предела непрерывной
функции можно совершать предельный переход под знаком этой функции.
Иными словами, символы предела и непрерывной функции можно менять
местами. Таким образом, если, заранее известна непрерывность функции
()
x
в точке
a
, то формула (1.23) выражает общее правило предельного

Страницы