Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

называется сравнением этих двух бесконечно малых друг с другом. Здесь
обычно пользуются следующей терминологией:
1. Если предел (2.24) равен нулю, то говорят, что
()
x
α
бесконечно малая
более высокого порядка, чем
()
x
β
; в этом случае пишут
() 0( ())
x
x
α
β
=
(читается: "
()
x
α
равно 0 - малое от
()
x
β
").
2. Если предел (2.24 ) равен
(или, в частности,
+
∞
или −∞ ), то говорят,
что
()
x
β
- бесконечно малая более высокого порядка, чем
()
x
α
.
3. Если предел (2.24) равен любому числу
0A
≠
, то говорят, что
бесконечно малые
()
x
α
и
()
x
β
- одного порядка.
4. Если предел (2.24) не существует, то говорят, что
бесконечно малые
несравнимы
.
Важным частным случаем бесконечно малых функций одного порядка
являются эквивалентные бесконечно малые.
Определение 2.16. Функции
()
x
α
и
()
x
β
, бесконечно малые при
x
a→
,
называются
эквивалентными бесконечно малыми, если
()
lim 1
()
xa
x
x
α
β
→
=
.
В этом случае пишут:
() ()
x
x
α
β
:
при
x
a→
.
Докажем три важные теоремы о сравнении бесконечно малых.
Теорема 2.23 (о сравнении произведения ). Произведение двух бесконечно
малых есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждый из
сомножителей.
Доказательство.
Если при
x
a→
функции
()
x
α
α
=
и
()
x
β
β
=
-
бесконечно малы то, сравнивая их, получим
() ()
lim lim ( ) 0
()
xa xa
xx
x
x
α
β
β
α
→→
⋅
=
=;
() ()
lim lim ( ) 0
()
xa xa
xx
x
x
α
β
α
β
→→
⋅
=
=.
Отсюда и следует, что
( ) ( ) 0( )xx
α
βα
=
и
() () 0( ())
x
xx
α
ββ
=
. Теорема
доказана.
Теорема 2.24 (о замене бесконечно малых эквивалентными). Если
функции
11
() () () ()
x
xxx
α
αβ β
,
,,
бесконечно малы при
x
a→,
причем
11
() () () ()
x
xx x
α
αβ β
,::
, то
1
1
() ()
lim lim
() ()
xa xa
x
x
x
x
α
α
ββ
→→
=
(2.25)
Доказательство. Для доказательства выполним преобразования

Страницы