Составители:
Рубрика:
будут
() ()
x
x
αβ
−
и
() ()
()
x
x
x
αβ
α
−
.
Но
(() ()) 0xx
α
β
−
→
при
x
a→
, а в
соответствии с теоремой (2.25), и
() ()
0
()
x
x
x
α
β
α
−
→
при
x
a→.
Таким образом,
при
x
a→
стремятся к нулю абсолютные и относительные погрешности
приближенного равенства (2.26). Следовательно, для значений
x
, достаточно
близких к
a
, это приближенное равенство будет осуществляться со сколь
угодно большой относительной точностью.
Таким образом, приходим к следующему выводу: если функции
()
x
α
и
()
x
β
при
x
a→
являются эквивалентными бесконечно малыми, то для
значений
x
, достаточно близких к
a
, любую из этих функций можно
приближенно заменить другой со сколь угодно высокой относительной
точностью.
2.5 Замечательные пределы
Для отыскания пар эквивалентных бесконечно малых особое значение
имеет так называемый "первый замечательный предел"
Теорема 2. 26 (первый замечательный предел).
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
.
Доказательство. Возьмем окружность единичного радиуса (см. рис.2.2) с
центром в точке
0 прямоугольной системы координат
Oxy
и обозначим через
A
точку с координатами (1,0). Обозначим через
B
точку, в которую
отобразится точка
A
при повороте на ориентированный угол
α
вокруг
начала координат, считая, что
0
2
π
α
<
<.
Пусть перпендикуляр
AC, восстановленный в точке
A
к
OA
, пересекается
Рис.2.2.
с продолжением
OB в точке С.
Тогда площадь треугольника
OAB
равна
1
sin
2
α
, площадь сектора
AOB
равна
1
2
α
, а площадь
треугольника
AOC
равна
1
2
tg
α
,
так
что
111
sin
222
tg
α
αα
<
<.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- …
- следующая ›
- последняя »
