Составители:
Рубрика:
Глава 3
Производная и дифференциал
3.1 Определение производной. Ее геометрический и механический
смысл
Пусть функция задана на некотором промежутке . Возьмем
какую-нибудь конечную точку
()yfx=
X
0
x
∈
X
и зададим в ней произвольное
приращение , такое, что и
0xΔ≠
0
xx
+
Δ∈ .X
Приращение функции в точке
0
x
, соответствующее приращению аргумента
x
Δ
, будет
00
()(yfx x fx)
Δ
=+Δ−.
Рассмотрим отношение
y
x
Δ
Δ
.
Определение 3.1. Если при
0x
Δ
→
отношение
y
x
Δ
Δ
стремится к
конечному или бесконечному пределу, то этот предел называется
производной функции по переменной
()yfx=
x
в точке
0
x
и обозначается
символами
x
yy
′
,
или
0
()
f
x
′
.
Итак, по определению
0
0
00
()(
() lim lim
xx
0
)
yf
xx
f
x
yfx
xx
Δ→ Δ→
Δ
+Δ −
′′
== =
ΔΔ
.
(3.1)
Определение 3.2. Производная
0
()
f
x
′
называется конечной или
бесконечной в зависимости от того, конечен или бесконечен предел (3.1).
Таким образом, конечная производная в данной точке представляет собой
число.
Определение 3.3. Если конечная производная от функции
()yfx
=
существует в каждой точке промежутка , то на множестве оказывается
заданной функция, которая ставит в соответствие каждой точке
X X
x
∈
X
значение производной в этой точке. Назовем эту функцию
производной от
функции
f
и обозначим
f
′
.
Пример 1. Вычислить производную функции
()
n
f
xx=,
в произвольной
точке если
x ∈,R
n ∈.N
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
