Составители:
Рубрика:
00
0
(lim)( lim
xx
tg tg
0
)
ϕ
ϕϕ
Δ→ Δ→
ϕ
=
⇔= .
(3.2)
На рис.3.1..
00
0
()(PM y f x x f x
tg
MP x x
ϕ
)
Δ
+Δ −
===
ΔΔ
,
в силу чего, на основании (3.2) и определения 3.1 для углового коэффициента
искомой касательной
0
k
0
M
T
получаем
00
00
0
()()
lim ( )
x
fx x fx
kt
0
gf
x
x
ϕ
Δ→
+
Δ−
′
== =
Δ
.
0
(3.3)
Зная угловой коэффициент
0
()kfx
′
=
касательной
0
M
T
и точку
000
()
M
xy
,
,
через которую она проходит, пишем уравнение этой касательной в виде
00
()( )yy fxxx
0
′
−
=−.
(3.4)
Итак, производная
()
f
x
′
функции
()yfx
=
геометрически представляет
собой угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с
абсциссой
x
.
Замечание. Условие существования производной
()
f
x
′
в точке
x
эквивалентно условию существования и единственности касательной к
кривой в этой точке (в точке с абсциссой
()yfx=
x
). При этом случаю
конечной производной отвечает касательная, не параллельная оси , а
случаю бесконечной производной - касательная, параллельная оси
Oy
Oy
.
Механический смысл производной виден из следующих рассуждений.
Пусть материальная точка движется по оси (рис.3.2).
Ox
Рис.3.2.
Положение точки определяется ее абсциссой
x
, которая будет функцией
времени . Последнее равенство называется уравнением движения
точки. Пусть в момент времени точка занимала на траектории положение
()tx ft:=
0
t
0
M
и имела абсциссу
0
x
, а затем, по прошествии времени переместилась
в положение
tΔ
0
M
и имеет абсциссу
0
x
x
+
Δ.
Таким образом, если за время
t
Δ
точка не меняла направления движения, то
x
Δ
есть путь, пройденный
точкой за время Очевидно,
tΔ.
00
()()
x
ft t ft
Δ
=+Δ−.
Отношение
x
t
Δ
Δ
называется средней скоростью точки за промежуток
времени а предел этого отношения при
tΔ,
0t
Δ
→
называется скоростью
точки в момент времени
0
()Vt
0
t
.
В силу определения производной (3.1).
00
00
00
()()
() lim lim ()
tt
xfttft
Vt
f
t
tt
Δ→ Δ→
Δ
+Δ −
′
== =
ΔΔ
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
