Составители:
Рубрика:
Но это и есть определение дифференцируемости. При этом величина
A
,
входящая в условие (см. формулу (3.5)), совпадает со значением
0
()
f
x
′
производной
()
f
x
′
в точке
0
x
.
Поэтому данное условие можно записать в
форме
0
() ( )yfxx xx
α
′
Δ= Δ+ ΔΔ,
где
() 0x
α
Δ
→
при (3.6)
0xΔ→.
Теорема доказана.
Замечание 1. В некоторых учебниках в качестве определения
дифференцируемости в точке дается именно существование конечной
производной в данной точке.
Важно выяснить связь между дифференцируемостью и непрерывностью.
Теорема 3.2. Если функция
()yfx
=
дифференцируема в точке
0
x
, то она и
непрерывна в этой точке.
Доказательство. Утверждение непосредственно вытекает из условия
(3.6). Действительно, переходя в нем к пределу при получаем
Данное равенство и означает непрерывность, так как бесконечно
малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение
функции.
0xΔ→
0
lim 0
x
y
Δ→
Δ=.
Замечание 2. Из непрерывности функции в некоторой точке, вообще
говоря, не следует дифференцируемость функции в этой точке. Рассмотрим,
например, две функции, графики которых представлены на рис.3.3. Обе эти
функции непрерывны в точке
0
x
,
но они не будут дифференцируемы в этой
точке. Касательная к графику первой функции в точке
000
()
M
xy
,
параллельна оси , то есть, первая функция обладает в точке
Oy
0
x
бесконечной производной. График второй функции в точке
0
x
вообще не
имеет единственной касательной, поэтому функция в точке
0
x
не может
иметь конечной производной .
Рис. 3.3.
Определение 3.5. Точки, подобные
0
x
на рис. 3.3а, называются точками
возврата функции, а подобные точкам
0
x
на рис.3.3 b -угловыми точками.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
