Составители:
Рубрика:
3.3 Дифференцируемость функции на промежутке
Определение 3.6. Функция
()yfx
=
называется дифференцируемой на
некотором промежутке (конечном или бесконечном), если эта функция
дифференцируема в каждой точке этого промежутка.
X
Отметим при этом, что в принадлежащих граничных точках должна
иметь место односторонняя дифференцируемость (правосторонняя или
левосторонняя).
X
В частности, если - замкнутый интервал, то в его граничных точках
и должны существовать, соответственно, односторонние конечные
пределы
[ab=,X ]
a
b
0
0
()(
lim
x
x
)
f
axfa
x
Δ→
Δ>
+Δ −
Δ
и
0
0
()(
lim
x
x
)
f
bxfb
x
Δ→
Δ<
+
Δ−
.
Δ
Графиком функции, дифференцируемой на некотором промежутке, служит
сплошная линия без точек возврата и угловых точек. Такую линию будем
называть гладкой.
3.4 Дифференциал функции
Пусть функция дифференцируема в точке
()yfx=
x
. Тогда в точке
0
x
для любого имеет место соотношение (3.6)
0xΔ≠
0
() ( )yfxx xx
α
′
Δ= Δ+ ΔΔ,
где
() 0x
α
Δ
→
при
0xΔ→,
которое представляет функцию от
x
Δ
в точке
0
x
в виде двух слагаемых.
Первое из этих слагаемых
0
()
f
xx
′
Δ
является линейной функцией аргумента
x
Δ
, а второе слагаемое
()
x
x
α
ΔΔ
- нелинейной функцией
x
Δ.
Определение 3.7. Произведение
0
()
f
xx
′
Δ
, представляющее собой
линейную относительно
x
Δ
часть приращения функции в точке
0
x
,
называется дифференциалом функции
()yfx
=
в этой точке и обозначается
одним из символов или
dy
0
()df x .
Итак,
0
()dy f x x
′
=
Δ.
(3.7)
Заметим, что приращение
x
Δ
аргумента
x
, который здесь выступает как
независимая переменная, обычно обозначают и называют
дифференциалом независимой переменной. (Это непосредственно следует из
определения дифференциала, если положить
dx
()
f
xx
=
). Таким образом,
формулу (3.7) для дифференциала функции пишут еще в виде
0
()dy f x dx
′
=
,
(3.8)
то есть дифференциал функции в данной точке равен произведению
производной функции в этой точке на дифференциал (приращение)
независимой переменной.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- …
- следующая ›
- последняя »
