Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

дифференциалом.
Найдём приращение и дифференциал функции
22
2
3()363 (61)
() () (
yxxxxxxxxx
2
)
x
xx
Δ= + +Δ − − = Δ+ +Δ= + Δ+ .
+Δ Δ Δx
Тогда . Вычислим
(6 1)dy x x=+Δ
y
Δ
и в точке
dy
1
x
=
, если
01xΔ=,
7013001073 70107ydyΔ= ⋅,+ ⋅, =, ; = ⋅,=,.
Абсолютная погрешность
073 07 003ydy
Δ
−=,−,=,,
а относительная
погрешность
003
004
073
ydy
y
Δ− ,
=
≈, .
Δ,
3.5 Производная суммы, произведения и частного функций
Напомним известные из курса средней школы правила
дифференцирования, которые позволяют в некоторых случаях находить
производные функций, не прибегая непосредственно к определению.
Теорема 3.3. Если функции
()uux
=
и
()vvx
дифференцируемы в точке
x
,
то в этой точке
()uv u v
′
′′
+
=+
(3.11)
()uv u v v u
′
′′
=
+;
(3.12)
2
() 0
uuvvu
vvx
vv
′
′
−
⎛⎞
=
,= ≠.
⎜⎟
⎝⎠
(3.13)
Умножив эти равенства почленно на , получим те же правила,
записанные в терминах дифференциалов
dx
()duv du dv
=
+;
(3.14)
()d uv udv vdu
=
+;
(3.15)
2
uudvvdu
d
vv
−
⎛⎞
=
.
⎜⎟
⎝⎠
(3.16)
Доказательство. Так как для всех частей теоремы доказательство
проводится совершенно единообразно, докажем одну из них, например,
вторую.
Обозначим Придадим
yuv=.
x
приращение
x
Δ
,
и пусть будут
приращения функций в точке
uvyΔ,Δ,Δ
uvy,,
x
, соответствующие приращению
x
Δ
,
аргумента. Тогда
()()yu uv vuvvuuv uv
Δ
=+Δ +Δ−=Δ+Δ+ΔΔ.

Страницы