Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Получим первую из них. Приращение функции в точке
siny= x
x
,
соответствующее приращение
x
Δ
аргумента, будет
sin( ) sin 2sin cos( )
22
x
x
yxxx x
Δ
Δ
Δ= +Δ − = + .
Учитывая, что
sin
22
x
xΔΔ
:
при
0x
Δ
→
и используя определение
производной, находим
00
2sin cos( )
22
lim lim
xx
x
x
x
y
y
x
Δ→ Δ→
Δ
Δ
+
Δ
′
== =
Δ
Δ
00
2cos( )
22
lim limcos( ) cos
2
xx
xx
x
x
x
x
x
Δ→ Δ→
ΔΔ
⋅+
Δ
=
=+=.
Δ
Вторая формула доказывается аналогично. Третья и четвертая формулы
получаются, если тангенс и котангенс выразить через синус и косинус и
воспользоваться формулой (3.13).
3.7 Дифференцирование логарифмических функций
Имеют место формулы
11
1(log)log 2(ln)
aa
xex
x
x
′′
.= .=.
Докажем первую из них. Приращение функции
log
a
y
x=
в точке
x
,
соответствующее приращению
x
Δ
аргумента, будет
log ( ) log log log (1 ) log ln(1 )
aaaa a
x
xx
yxxx e
x
x
xx
+
ΔΔ
Δ= +Δ − = = + = + ;
Δ
A
(мы воспользовались здесь тождеством
log log ln
aa
Ae
=
).
Так как
ln(1 )
x
x
x
x
Δ
Δ
+ :
при
0x
Δ
→
, то по определению производной
получаем:
00
1
lim log lim ln(1 )
a
xx
y
x
ye
xx
Δ→ Δ→
x
Δ
Δ
′
== +
ΔΔ
=
0
11
log lim log
aa
x
x
ee
xx x
Δ→
Δ
==
Δ
.
3.7 Дифференцирование сложной функции. Производные от
степенной и показательной функций
Пусть сложная функция аргумента
y
x
задана формулами
()yfu=,
()ux
ϕ
=
(см. пункт 1.4.3)

Страницы