Составители:
Рубрика:
11
ya
yx
′
=
,
откуда
1
a
a
ay ax
ya
xx
x
−
′
=
==.
Легко показать, что этот результат верен и при
0x
<
, если только при этом сл
x
α
имеет смысл. Ранее был получен результат для случая
n
α
=.
Аналогично получается и вторая формула, из которой в частном случае при
вытекает последняя формула.
ae=
Замечание. Прием предварительного логарифмирования, который был
использован при получении формулы дифференцирования степенной
функции, имеет самостоятельное значение и называется в совокупности с
последующим нахождением производной логарифма функции
логарифмическим дифференцированием.
Покажем его применение для дифференцирования функций вида
()
()
vx
y
ux
=
.
Пример 3.3. Найдем производную функции
sin
x
yx=
.
sin
ln ln sin ln
x
yx x==x
sin
ln (sin ) ln sin (ln ) cos ln
x
yyy x x x x xx
x
′′ ′
=/= + = + .
Следовательно,
sin
sin
(cos ln )
x
x
yx xx
x
′
=+
Замечание. Правило дифференцирования сложной функции может быть
применено и для отыскания производной функции, заданной неявно.
Действительно, если зависимость между
x
и задана в форме
и это уравнение разрешимо относительно , то производную
y
()Fxy,=0
y
y
′
можно найти из уравнения
(( ()) 0
d
Fxyx
dx
,
=.
Пример 3.4. Найти производную функции
()yfx
=
, заданной неявно
уравнением .
() 0arctg y y x−+=
Дифференцируем равенство по
x
, считая функцией от
y
x
:
22
1
10 откуда
1
yy
yy
yy
′
+
′′
−+=, =
+
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- …
- следующая ›
- последняя »
