Составители:
Рубрика:
может, в свою очередь, иметь производную. Эту производную называют
производной второго порядка функции
()yfx
=
и обозначают одним из
символов
(2) (2)
() ()
xx
yfxyf
y
′′ ′′
′′
x
,
,,, .
Производную производной 2-го порядка называют производной третьего
порядка функции и обозначают
()yfx=
(3) (3)
() ()
xxx
f
fxyf x
y
′′′ ′′
′′′
,
,, .
Аналогично определяются производные 4-го, 5-го и старших порядков.
Определение 3.8. Производной -го порядка от функции
n
()yfx
=
называется производная от производной
1n
−
порядка данной функции.
Производная -го порядка обозначается одним из символов:
n
() ()
()
nn
yfx,.
Пример 3.5.
32 (4)
561 156 30 30
n
yx x y x y xy y y
′ ′′ ′′′
=+−. = +, =, =, == =L
()
0.
)
Очевидно, что для алгебраического многочлена ой степени все
производные, начиная с
n −
(1n
+
- ого порядка, равны нулю.
Пример 3.6.
2()kax ax ax k ax
ye y ae y"ae y ae
′
=, = , = , ,=L .
Определение 3.9. Функция
()
f
x
называется дифференцируемой раз в
некоторой точке (на некотором промежутке), если в этой точке (на этом
промежутке) дифференцируемы функции
k
(3) ( 1)
() () () () ()
n
f
xfxfxf x f x
−
′′′
,
,. ,,L .
Дифференциал функции
()yfx
=
, где
x
- независимая переменная,
называемый еще дифференциалом 1-го порядка, определяется формулой
()dy f x dx
′
=
,
(3.20)
где - произвольное достаточно малое приращение аргумента
dx x=Δ
x
.
Зафиксируем тогда будет функцией от
dx; dy
x
. Дифференциал этой
функции называется дифференциалом 2-го порядка функции
()yfx
=
и
обозначается или
2
dy
2
()dfx
.
Поскольку зафиксирован (постоянен), то
dx
2 2
() [()][()] ()d y d dy d f x dx f x dx dx f x dx
′′′′′
== = = .
Дифференциал функции называется дифференциалом 3-го порядка
функции и обозначается или
2
dy
()yfx=
3
dy
3
()dfx
.
32 2 2
( ) [ () ] [ () ] ()dyddy dfxdx fxdx f xdx
′′ ′′ ′ ′′′
== = =
3
.
Определение 3.10. Дифференциалом - ого порядка функции
n
()yfx
=
называется величина, которая обозначается и определяется в соответствии с
равенством
() 1
()
nn
dyddy
−
=.
