Составители:
Рубрика:
()
() ( )
()
x
t
t
tg x
y
t
ψ
ψ
ϕ
′
′′
′
=
=,
′
что и требовалось доказать.
Производная второго порядка
x
x
y
′
′
есть производная по
x
от
x
y
′
.
Применяя формулу (3.24) не к , а к
y
x
y
′
, получим
()
x
t
xx
t
y
y
x
′
′
′′
=
.
′
Продолжая эти действия, можно найти производную любого порядка
функции по переменной
y
x
.
Пример 3.7. Вычислить
x
y
′
и
x
x
y
′
′
, если
(sin),
x
at t=−
(1 cos )ya t
=
−.
Имеем
sin
(1 cos ) 2
t
x
t
yat
ctg
y
at
x
t
′
′
=
==
−
′
.
24
(
)1
2sin (1 cos) 4sin
22
xt
xx
t
y
y
tt
ata
x
′′
′′
==− =−
−
′
1
.
3.12 Вопросы для самоконтроля к главе 3
1. Что называется приращением аргумента и приращением функции?
2. Дайте определение производной функции в точке. Каково её
геометрическое и механическое истолкование?
3. Выведите уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке.
4. Дайте определение дифференцируемости функции в точке.
Сформулируйте необходимое и достаточное условие дифференцируемости
функции в точке.
5. Что называется дифференциалом функции? Каково его геометрическое
истолкование?
6. Покажите, что абсолютная и относительная погрешности при замене
приращение функции её дифференциалом есть величины бесконечно малые.
Для какой функции дифференциал тождественно равен приращению?
7. Докажите теорему о непрерывности дифференцируемой функции.
Покажите на примерах, что обратная теорема неверна.
8. Может ли функция иметь производную в точке разрыва.
9. Сформулируйте и докажите основные правила дифференцирования.
10. Выведите формулы для нахождения производных функций:
sin
x
,
cos
x
,
, ,
tgx
ctgx
log
a
x
,
ln
x
.
11. Сформулируйте и докажите правило дифференцирования сложной
функции.
