Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

3.9 Дифференцирование обратной функции. Дифференцирование
обратных тригонометрических функций
Пусть даны две взаимно обратные функции
()yfx
=
и
()
x
y
ϕ
=
(см.п. 1.4.8).
Теорема 3.5 (о производной обратной функции). Если функции
()
y
fx
=
,
()uy
ϕ
=
возрастают (убывают) и в точке
x
функция
()
f
x
дифференцируема, причем
() 0fx
≠
,
то в соответствующей точке
функция
y
()
y
ϕ
тоже дифференцируема (по ), причем
y
1
()
()
y
f
x
ϕ
′
=
.
′
(3.19)
Доказательство. В точке зададим приращение
y
y
Δ.
Так как функция
()
x
y
ϕ
=
возрастает (убывает) (см.п. 1.4.7), то
()()xyy y0
ϕ
ϕ
Δ
=+Δ− ≠
и
1
x
yy
x
Δ
=
ΔΔ
Δ
.
В условиях теоремы функция
()
x
y
ϕ
=
непрерывна (теорема 3.2), в
силу чего при и пользуясь последним соотношением, находим
0xΔ→
0yΔ→
0
0
11
() lim
lim ( )
y
y
x
x
x
y
yf
ϕ
Δ
Δ→
Δ
Δ→
x
Δ
′
=
==.
′
Δ
Таким образом, дифференцируемость функции
()
x
y
ϕ
=
в точке и
формула (3.19) доказаны.
y
С помощью этой теоремы выводятся формулы дифференцирования
обратных тригонометрических функций:
22
11
1 (arcsin ) 2 (arccos )
11
xx
x
x
′′
.= .=−
−
−
22
11
3() 4()
11
xx
x
x
′′
.= .=−
+
+
Функции
arcsin( )yx
=
и
sinyx
=
, где
22
[11] [ ]xy
π
π
∈
−, , ∈− ,
взаимно
обратны. В соответствии с формулой (3.19), находим
22
11 1 1
(arcsin )
(sin ) cos
1sin 1
x
yy
y
x
′
=== =
′
±− ±−
.
Но
22
[]cosy
ππ
∀∈− , ≥,0y
поэтому перед квадратным корнем остается
положительный знак, и мы получаем первую формулу. Аналогично
доказываются и остальные.
3.10 Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть функция дифференцируема на некотором промежутке.
Тогда производная
()yfx=
()
f
x
′
этой функции, называемая еще производной
первого порядка, будет новой функцией
x
, заданной на этом промежутке, и

Страницы