Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 3.4 (о производной сложной функции). Если функции
() ()yfuu x
ϕ
=,=
дифференцируемы в соответствующих друг другу точках
и
u
x
, то сложная функция
[()]
f
x
ϕ
тоже дифференцируема в точке
x
,
причем
или
()yfuu
′′
=
′
x
xu
yy
u
′
′
=
⋅.
′
(3.18)
Доказательство. Независимой переменной
x
придадим приращение
Δ
,
тогда функция
()ux
ϕ
=
получит приращение
u
Δ
, что вызовет приращение
y
Δ
функции . Так как функция
()yfu= ()yfu
=
по условию теоремы
дифференцируема в рассматриваемой точке , то ее приращение в этой
точке можно представить в виде (см.определение 3.4)
u
() ( )y fuu uu
α
′
Δ= Δ+ Δ Δ,
где
()uo
α
Δ
→
при
0u
Δ
→.
Отсюда:
() ( )
y
uu
fu u
x
xx
α
ΔΔ
′
Δ
=
+Δ
ΔΔ
.
Δ
x
Функция
()u
ϕ
=
дифференцируема, а значит и непрерывна в точке
x
,
соответствующей рассмотренной выше точке (теорема 3.2).
Следовательно, в силу непрерывности
u
0
lim 0
x
u
Δ→
Δ
=,
а поэтому
0
lim ( ) 0
x
u
α
Δ→
Δ
=.
Учитывая это, при переходе в последнем равенстве к пределу при
0x
Δ
→
,
придем к (3.18).
Умножив равенство (3.18) почленно на , получим выражение для
дифференциала сложной функции
dx
()dy f u du
′
=
.
Замечание. Дифференциал функции
()yfu
=
имел бы точно такой же
вид и в том случае, если бы аргумент был не функцией, а независимой
переменной. В этом состоит так называемое свойство инвариантности
(независимости) формы дифференциала по отношению к аргументу. Следует
иметь в виду, что если - независимая переменная, то есть ее
произвольное приращение, если же - промежуточный аргумент (то есть
функция), то - дифференциал этой функции, то есть величина, не
совпадающая с ее приращением
u
u du u=Δ
u
du
u
Δ
.
С помощью последней теоремы легко получить формулы
дифференцирования степенной и показательной функции:
1). 2).
1
()xx
αα
α
−
′
=; () ln
xx
aaa
′
=
;
3).
()
x
x
ee
′
=.
Действительно, предполагая , прологарифмируем обе части формулы
Здесь - это функция от
0x >
ln lnyx y x
α
α
=; = .
y
x
, в силу чего левая часть
последнего равенства является сложной функцией от
x
.
Продифференцировав обе части последнего равенства по
x
(левую - как
сложную функцию), получим

Страницы