Составители:
Рубрика:
Учитывая, что и - значения функций в точке
u v
x
не зависят от
приращения аргумента
x
Δ,
в силу определения (3.1) и свойств предельного
перехода (см. формулы (2.14),(2.15) находим
0000
lim lim lim lim lim
xxxxx
yuvu
0
y
vu
xxxx
Δ→ Δ→ Δ→ Δ→ Δ→
ΔΔΔΔ
′
v
=
=++⋅
ΔΔΔΔ
Δ.
Функция в рассматриваемой точке
()vvx=
x
по условию теоремы
дифференцируема, а значит, и непрерывна ( теорема 3.2), следовательно
(определение непрерывности 2.17) и предыдущее равенство дает
выражение для производной:
0
lim 0
x
v
Δ→
Δ=
0yvuuvu
′
′′′
=
++⋅.
Подставив сюда
yuv
=
,
придем к формуле (3.12).
Производная и дифференциал постоянной функции ( здесь -
постоянное число при всех
yC=
С
x
∈
X
) равны нулю.
0xC dCCdx0
′
′
∀∈ =; = = .X
(3.17)
Действительно, в любых точках множества такая функция имеет одно и то
же значение, в силу чего для нее
X
0y
Δ
≡
при любых
x
и
x
Δ
таких что
Отсюда, в силу определения производной и дифференциала,
следуют формулы (3.17).
xx x,+Δ∈X.
.
Формула (3.11) обобщается на случай любого конечного числа слагаемых
функций.
При , где , формулы (3.12) и (3.15), в силу (3.17), дают
равенства:
uC= Cconst−
() ()Cv Cv d Cv Cdv
′
′
=, =
То есть, постоянный множитель можно
выносить за знаки производной и дифференциала.
Для случая трех сомножителей, последовательно применяя формулу (3.12),
находим
( ) (()) () () ( )uvw uv w uv w uv w u v uv w uvw
′′′′′′
==++++
′
=
uvw uvw uvw
′
′′
+
+.
Аналогичное правило справедливо при дифференцировании произведения
любого числа сомножителей.
В следующих пунктах будут получены производные основных
элементарных функций.
3.6 Производные от тригонометрических функций
Найдем производные от тригонометрических функций, а именно
1(sin)cos 2(cos) sin
x
xxx
′
′
.= .=−
22
11
3() 4( )
cos sin
tgx ctgx
x
x
′′
.= . =−
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- …
- следующая ›
- последняя »
