Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Из формулы (3.8) находим, что
0
()
dy
fx
dx
′
=
. Таким образом, производную
функции можно рассматривать как отношение дифференциала функции к
дифференциалу независимой переменной. Символ
dy
dx
часто применяют для
обозначения производной функции по переменной
y
x
.
Вернемся к графику функции
()yfx
=
, представленному на рис.3.1.
Как легко заметить, дифференциал функции
()yfx
=
в точке
0
x
,
геометрически представляет собой приращение ординаты касательной к
графику этой функции в точке
000
()
M
xy
,
на интервале
00
[]
x
xx
,
+Δ
.
Перепишем теперь формулу для приращения функции в виде
()ydy xx
Δ− = Δ Δ,
где
() 0x
α
Δ
→
при
0x
Δ
→.
(3.9)
Если
0
() 0fx
′
≠
,
то функция
()
x
x
α
Δ
Δ
аргумента
x
Δ
является при
0x
Δ
→
бесконечно малой более высокого порядка, чем функция того
же аргумента. Действительно
0
()dy f x dx
′
=
00
00
() 1
lim lim ( ) 0
() ()
xx
xx
x
fx x fx
α
α
Δ→ Δ→
Δ
Δ
=
Δ=
′′
Δ
.
Итак,
( ) 0( )
x
xdy
α
ΔΔ=
при
0x
Δ
→
, в силу чего (3.9) можно переписать в виде
при . Отсюда следует (см. теорему 2.25), что
приращение
0( )ydy dyΔ− =
0xΔ→
y
Δ
и дифференциал функции
dy ()yfx
=
в точке
0
x
,
являются
эквивалентными бесконечно малыми при
0x
Δ
→
и при условии, что
0
() 0fx
′
≠,
Следствием этого является возможность приближенной замены
приращения функции
y
Δ
дифференциалом этой функции со сколь угодно
высокой относительной точностью.
dy
Итак, имеем приближенное равенство
ydy
Δ
≈,
(3.10)
абсолютная и относительная погрешности которого сколь угодно малы при
достаточно малом по модулю
x
Δ
.
Структура дифференциала, являющегося
линейной функцией
x
Δ
, проще структуры приращения функции, в силу чего
равенство (3.10) играет большую роль как в теоретических исследованиях,
так и в приближенных вычислениях.
Операции нахождения производной и дифференциала функции
называются дифференцированием этой функции. Общее название обеих
операций объясняется их очевидной зависимостью. В силу формулы (3.8)
дифференциал функции получается простым умножением ее производной на
величину
x
dxΔ= .
Пример 3.2. Найти приращение и дифференциал функции
2
3
y
x=+x
в
точке
1
x
=
, если Вычислить абсолютную и относительную
погрешности, которые возникают при замене приращения функции ее
01xΔ=,.

Страницы