Составители:
Рубрика:
Методом математической индукции легко показать, что
()
()
nn
dy f xdf
n
=
.
(3.21)
Итак, дифференциал - ого порядка равен произведению производной
n
n
- ого порядка этой функции на -ную степень дифференциала
независимой переменной.
n
Если имеется сложная функция
() ()yfuu x
ϕ
=
,= ,
то и тогда
()dy f u du
′
=
(3.22)
с той разницей, что теперь уже и
()
f
u
′
и
()du x dx
ϕ
′
=
являются функциями
от
x
. Поэтому при отыскании дифференциалов старших порядков нельзя
выносить за знак производной, а следует дифференцировать формулу 3.22
как произведение. Поэтому формулы для дифференциалов высших порядков
сложной функции отличаются от полученных выше формул. Отметим, что
дифференциалы высших порядков сложной функции по отношению к
аргументу свойством инвариантности формы не обладают.
du
Из формулы (3.21) следует:
()
k
n
k
dy
f
dx
=
,
то есть, что производную - ого
порядка функции можно истолковать как отношение дифференциала - ого
порядка функции к - ой степени дифференциала независимой переменной.
Поэтому символ
n
n
n
k
k
dy
dx
часто применяют для обозначения производной - ого
порядка функции по переменной
n
y
x
.
3.11 Дифференцирование функций, заданных параметрически
Пусть функция задана параметрическими уравнениями
()yfx=
() ()xty tt
ϕ
ψ
=
,= ,∈T.
(3.23)
Производную
x
y
′
функции по переменной
y
x
можно вычислить,
пользуясь только параметрическими уравнениями (3.23), минуя
представление функции в явной форме.
()yfx=
Теорема 3.6. Если на промежутке функция T
()
x
t
ϕ
=
возрастает
(убывает) и в точке функции
t ∈T
()t
ϕ
и
()t
ψ
дифференцируемы, причем
() 0t
ϕ
′
≠
, то в соответствующей точке
x
переменная будет
дифференцируемой функцией от
y
x
. При этом
()
()
tt
x
t
t
t
y
y
t
x
ψ
ϕ
′
′
′
=
=.
′
′
(3.24)
Доказательство. Так как функция
()
x
t
ϕ
=
возрастает (убывает) на , то
она имеет на этом промежутке обратную функцию
T
()tgx
=
.
В силу теоремы
3.5 эта обратная функция будет дифференцируема в точке
x
, которая
соответствует точке и
t
1
()
()
gx
t
ϕ
′
=
′
. Учитывая это, на основании теоремы о
дифференцировании сложной функции находим производную функции
