Составители:
Рубрика:
Следовательно, если
()
x
ft
=
есть уравнение прямолинейного движения
точки, то производная
()
f
t
′
представляет собой скорость точки в момент
времени
t.
3.2 Дифференцируемость функции в точке
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки
()yfx=
X
0
x
.
Зададим в этой точке произвольное приращение аргумента так,
чтобы
0xΔ≠
0
x
x+Δ ∈
X
.
Определение 3.4. Функция
()yfx
=
называется дифференцируемой в
точке
x
, если приращение функции в этой точке, соответствующее
приращению
x
Δ
аргумента, можно, представить в форме
()yAx xx
α
Δ
=Δ+ ΔΔ,
(3.5)
где
A
- число, а
()
x
α
Δ
- функция
x
Δ
, бесконечно малая при , то есть
0xΔ→
() 0x
α
Δ→
при
0xΔ→.
Заметим, что число
A
ставится в соответствие фиксированной точке
0
x
и
не зависит от
x
Δ
. При изменении точки
0
x
число
A
, вообще говоря,
изменится.
Условия дифференцируемости функции в точке определяются теоремами
3.1 и 3.2.
Теорема 3.1. Для того, чтобы функция
()yfx
=
была дифференцируема в
точке
0
x
, необходимо и достаточно, чтобы эта функция обладала в этой
точке конечной производной.
Доказательство. Необходимость. Пусть
()yfx
=
дифференцируема в
точке
0
x
, то есть в этой точке имеет место соотношение (3.5). Разделим его
почленно на
0xΔ≠.
()
y
Ax
x
α
Δ
=
+Δ
Δ
.
Если , то получим, что
0xΔ→
0
()
f
xA
′
=
. Это и означает конечность
производной
0
()
f
x
′
.
Достаточность. Пусть
0
()
f
x
′
- число. По определению производной (3.1)
имеем:
0
0
lim ( )
x
y
f
x
x
Δ→
Δ
′
=
.
Δ
Отсюда получаем (теорема 2.12), что
0
() ( )
y
f
xx
x
α
Δ
′
=+Δ
Δ
,
где
() 0x
α
Δ
→
при
0xΔ→.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- …
- следующая ›
- последняя »
