ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
113
(
)
(
)
() ()
()
.10,2;0208;0
4
208
;
4
208
4
2042
21
2
2
2
2
2
2
2
=−==−−=
−
−−
−
−−
=
−
+−−
=
′
ххxx
x
xx
x
xx
x
xxx
y
x
()
2,∞−
–2
()
4,2
−
4 (4,10) 10
()
+∞,10
()
xf
′
+ 0 – не
сущ.
– 0 +
()
xf
max
mi
n
()
;42
max
−=−
=
yy
(
)
.2010
min
=
=
yy
4) Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
()()
(
)
(
)
()
()()
()
[]
() ()
34
2
2
4
2
2
4
362
4
208442
4
20842482
−
⋅
=
−
−−−−−
=
=
−
−−−−−−
=
′′
xx
xxxx
x
xxxxx
y
Так как 0≠
′′
y , то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остается
выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости:
x
()
4,
−
∞
−
4
(
)
+
∞,4
()
xf
′′
–
не
сущ
+
()
xf
5) Исследование графика на наличие наклонных асимптот.
()
;1
4
1
20
1
lim
4
20
limlim
2
2
2
2
2
=
−
+
=
−
+
==
∞→∞→∞→
x
x
x
x
xx
x
x
xf
k
xxx
()()
.4
4
204
lim
4
20
limlim
2
=
−
+
=
−
−
+
=−=
∞→∞→∞→
x
x
х
x
x
kxxfb
xxx
Таким образом, прямая 4+=
x
y – наклонная асимптота графика.
6) Построение графика.
y′ =
(
2 x( x − 4 ) − x 2 + 20 )= x 2
− 8 x − 20
;
( x − 4 )2 ( x − 4 )2
x 2 − 8 x − 20
= 0; x 2 − 8 x − 20 = 0; х1 = −2, х 2 = 10.
(x − 4) 2
x (− ∞,2 ) –2 (− 2,4 ) 4 (4,10) 10 (10,+∞ )
f ′( x ) + 0 – не – 0 +
сущ.
f (x ) max min
y max = y (− 2 ) = −4; y min = y (10 ) = 20.
4) Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
y ′′ =
(2 x − 8)( x − 4 )2 − 2( x − 4 ) x 2 − 8 x − 20
=
( )
(x − 4) 4
=
[ (
2( x − 4 )( x − 4 )2 − x 2 − 8 x − 20 )] = 2 ⋅ 36
( x − 4 )4 (x − 4 )3
Так как y ′′ ≠ 0 , то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остается
выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости:
x (− ∞,−4 ) 4 (4,+∞ )
f ′′( x ) – не +
сущ
f (x )
5) Исследование графика на наличие наклонных асимптот.
2 20
x 1 +
f (x ) x 2 + 20 x2
k = lim = lim 2 = lim = 1;
x→∞ x x→∞ x − 4 x x→∞ 2 4
x 1 −
x
x 2 + 20 4 x + 20
b = lim ( f ( x ) − kx ) = lim − х = lim = 4.
x →∞ x →∞
x − 4 x →∞ x − 4
Таким образом, прямая y = x + 4 – наклонная асимптота графика.
6) Построение графика.
113
