Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

111
() () () ()
[
]
;49515595
4
1
5
23
max
=−−+−+−=−= yy
() () () ()
[
]
49115191
4
1
1
23
min
−=−−+−+−=−= yy .
3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпук-
лости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции
и приравняем ее к нулю:
()
.3;03;186
4
1
−==++=
′′
xxxy
Итак, функция имеет одну критическую точку 2 рода: .3
−
=
x
Разобьем область
определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак
второй производной:
x
()
3,
−
∞
−
–3
(
)
+∞
−
,3
()
xf
′′
– 0 +
()
xf
т.п.
Значение
3−=x является абсциссой точки перегиба графика функции, а орди-
ната этой точки:
() () () ()
[]
.09315393
4
1
3
23
=−−+−+−=−y
4) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот.
Для определения параметров уравнения асимптоты bk
x
y +
=
воспользуемся
формулами:
()
;lim
x
xf
k
x ∞→
=
(
)
(
)
.lim kxxfb
x
−
=
∞→
Имеем
()
∞=
−++=
−++
=
∞→∞→
x
xx
x
xxx
k
xx
9
159
4
1
lim
9159
4
1
4
1
lim
2
23
.
Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.
5) Найдем наибольшее и наименьшее значение заданной функции на от-
резке
[]
0;3− . Для этого посчитаем значения функции на концах этого отрезка,
в критических точках 1 рода, попавших на отрезок, и сравним результаты:
()
;03 =−y
()
;41 −=−y
()
.
4
9
0 −=y Очевидно,
[]
(
)
;4min
0;3
−
=
−
xf
[]
()
0max
0;3
=
−
xf .
Проведем дополнительные исследования:
Для построения графика в выбранной системе координат изобразим точ-
ки максимума
()
,4;5
1
−A минимума
(
)
,4;1
2
−
−
A перегиба
(
)
0;3
3
−A , точку пере-
                                   1
                      y max = y (− 5) =
                                   4
                                             [
                                     (− 5)3 + 9(− 5)2 + 15(− 5) − 9 = 4;        ]
                                  1
                                            [
                y min = y (− 1) = (− 1)3 + 9(− 1)2 + 15(− 1) − 9 = −4 .
                                  4
                                                                            ]
       3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпук-
лости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции
и приравняем ее к нулю:
                      1
                y ′′ = (6 x + 18); x + 3 = 0; x = −3.
                      4
Итак, функция имеет одну критическую точку 2 рода: x = −3. Разобьем область
определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак
второй производной:

                             x            (− ∞,−3)          –3          (− 3,+∞ )
                          f ′′( x )          –               0              +
                           f (x )                           т.п.


Значение x = −3 является абсциссой точки перегиба графика функции, а орди-
ната этой точки:
                             1
                                  [
                   y (− 3) = (− 3)3 + 9(− 3)2 + 15(− 3) − 9 = 0.
                             4
                                                                   ]
         4) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот.
Для определения параметров уравнения асимптоты y = kx + b воспользуемся
формулами:
                               f (x )
                    k = lim           ; b = lim ( f ( x ) − kx ).
                         x →∞ x             x →∞
Имеем
                                1 3
                                     (
                                      x + 9 x 2 + 15 x − 9 )  
                             1
                   k = lim  4                                  = lim 1  x 2 + 9 x + 15 − 9  = ∞ .
                        x →∞ 4                x                x →∞ 4                     x
                                                              
                                                              
Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.
         5) Найдем наибольшее и наименьшее значение заданной функции на от-
резке [− 3;0] . Для этого посчитаем значения функции на концах этого отрезка,
в критических точках 1 рода, попавших на отрезок, и сравним результаты:
                                        9
y (− 3) = 0; y (− 1) = −4; y (0 ) = − . Очевидно, min f ( x ) = −4; max f ( x ) = 0 .
                                        4                  [−3;0 ]             [−3;0 ]
         Проведем дополнительные исследования:
         Для построения графика в выбранной системе координат изобразим точ-
ки максимума A1 (− 5;4 ), минимума A2 (− 1;−4 ), перегиба A3 (− 3;0 ), точку пере-


                                                                                                   111

Страницы