Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

109
Таким образом, х= 0 – вертикальная асимптота.
б) Наклонные:
2
12
lim,1
12
lim
2
2
2
=
−
−+
==
−+
=
+∞→+∞→
x
x
xx
b
x
xx
k
xx
.
При х→– ∞ получаем те же значения k и b. Прямая y = x+2 является наклонной
асимптотой.
2) xxey
x
+=
−
sin
а) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, сле-
довательно, вертикальных асимптот нет.
б)
11
sin
lim
sin
lim =
+=
+
=
+∞→
−
+∞→
xe
x
x
xxe
k
x
x
x
x
(
)
0sinlim ==
−
+∞→
xeb
x
x
Итак, при х→+∞ наклонная асимптота у=х.
∞=
+=
+
=
−
−∞→
−
−∞→
1sinlim
sin
lim x
x
e
x
xxe
k
x
x
x
x
, т.к.
()
−∞=−=
−
−∞→
−
−∞→
x
x
x
x
e
x
e
limlim , поэтому при х→–∞ наклонных асим-
птот нет.
3) arctgx
x
y 2−= .
а) Вертикальных асимптот нет.
б)
1
2
1lim
2
lim =
−=
−
=
+∞→+∞→
x
arctgx
x
arctgxx
k
xx
.
()
π
−
=
−=
+∞→
arctgxb
x
2lim
. Наклонная асимптота
π
−=
x
y при
х→+∞.
()
.2lim,1
2
lim π=−=
−
=
−∞→−∞→
arctgx
x
arctgxx
k
xx
Таким образом, пря-
мая π+=
x
y является наклонной асимптотой графика функции arctgx
x
y 2−=
при х→ – ∞.
         Таким образом, х= 0 – вертикальная асимптота.
                                             x 2 + 2x − 1                  x 2 + 2x − 1     
         б) Наклонные: k = lim                             = 1, b =  lim                − x  = 2.
                                      x → +∞       x2               x → +∞       x          
                                                                                            
При х→– ∞ получаем те же значения k и b. Прямая y = x+2 является наклонной
асимптотой.
      2) y = e − x sin x + x
         а) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, сле-
довательно, вертикальных асимптот нет.
                         e − x sin x + x            sin x    
         б) k = lim                        = lim  x + 1 = 1
                  x → +∞         x           x → +∞ e x      
                          (
            b = lim e − x sin x = 0
                 x → +∞
                                    )
            Итак, при х→+∞ наклонная асимптота у=х.
                      e − x sin x + x          e −x           
            k = lim                   = lim        sin x + 1 = ∞ , т.к.
               x → −∞         x        x → −∞
                                               x              

             lim 
                   e−x
            x → −∞ x
                              
                                        (   )
                               = lim − e − x = −∞ , поэтому при х→–∞ наклонных асим-
                               x →−∞
                             
птот нет.
            3) y = x − 2arctgx .
              а) Вертикальных асимптот нет.
                            x − 2arctgx           2arctgx 
              б) k = lim                = lim 1 −          = 1.
                     x → +∞      x        x → +∞     x 
                 b = lim (− 2arctgx ) = − π . Наклонная асимптота y = x − π при
                          x → +∞
                  х→+∞.
                       x − 2arctgx
                  k = lim          = 1, lim (− 2arctgx) = π. Таким образом, пря-
                  x→−∞      x          x→−∞
мая y = x + π является наклонной асимптотой графика функции y = x − 2arctgx
при х→ – ∞.




                                                                                               109

Страницы