Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

107
Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции
y = f(x) нужно найти те значения х = х
0
, при которых функция обращает-
ся в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимпто-
та имеет уравнение х = х
0
.
Пример 88.
а) Найти вертикальные асимптоты графика функции
2
1
−
+=
x
xy .
Так как
+∞=
−
+−∞=
−
+
+→−→
2
1
lim,
2
1
lim
0202
x
x
x
x
xx
, то прямая х=2
является вертикальной асимптотой.
б)
0
1
lim,lim.
/1
00
/1
00
/1
=
==+∞==
∞
∞−
−→+→
e
eeeey
x
x
x
x
x
. Прямая
х = 0 – вертикальная асимптота.
26.2 Наклонные асимптоты
Теорема 48.
Прямая y = kx+b служит наклонной асимптотой при х →+∞
для графика функции y=f(x) тогда и только тогда, когда
[]
kxxfb
x
xf
k
xx
−==
+∞→+∞→
)(lim,
)(
lim . Аналогичное утверждение верно и при
х → – ∞.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть МР – длина отрезка, равного расстоя-
нию от точки М до асимптоты (рисунок 45). По условию
0lim =
+∞→
MP
x
. Обозна-
чим через
ϕ
угол наклона асимптоты к оси Ох. Тогда из ∆MNP следует, что
ϕ
=
cos
MP
MN
.
х
у = f(x)
х
0
0
y
Рисунок 44
φ
х
y
=
f
(
x
)
M
.
P
N
0
y
Рисунок 45 
                             y



                                      у = f(x)

                             0                       х0   х

                                     Рисунок 44

        Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции
        y = f(x) нужно найти те значения х = х0, при которых функция обращает-
ся в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимпто-
та имеет уравнение х = х0.
        Пример 88.
                                                                             1
        а) Найти вертикальные асимптоты графика функции y = x +                 .
                                                                            x−2
                                    1                    1 
        Так как lim  x +               = −∞, lim  x +         = +∞ , то прямая х=2
                   x → 2 − 0    x − 2        x → 2 + 0 x − 2
является вертикальной асимптотой.
                                                                    1 
        б)      y = e1 / x . lim e1 / x = +∞, lim e1 / x = e −∞ = ∞  = 0 .    Прямая
                              x →0 + 0        x →0 − 0             e 
х = 0 – вертикальная асимптота.

      26.2 Наклонные асимптоты

         Теорема 48. Прямая y = kx+b служит наклонной асимптотой при х →+∞
для      графика       функции         y=f(x)  тогда   и   только  тогда,  когда
           f ( x)
k = lim           , b = lim [ f ( x) − kx]. Аналогичное утверждение верно и при
    x → +∞ x           x → +∞
х → – ∞.
         Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть МР – длина отрезка, равного расстоя-
нию от точки М до асимптоты (рисунок 45). По условию lim MP = 0 . Обозна-
                                                              x → +∞
чим через ϕ угол наклона асимптоты к оси Ох. Тогда из ∆MNP следует, что
       MP
MN =        .             y
      cos ϕ
                                             y=f(x)

                                           M.
                                                 P
                                             N
                                         φ
                                 0           К            х

                                      Рисунок 45
                                                                                  107

Страницы