Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

106
26 Асимптоты графика функции
При исследовании функции важно установить форму ее графика при не-
ограниченном удалении точки графика от начала координат.
Особый интерес представляет случай, когда график функции при удале-
нии его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к не-
которой прямой.
Определение:
Прямая называется асимптотой графика функции y=f(x),
(рисунок 43) если расстояние от переменной точки М графика до этой прямой
при удалении точки М в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика
функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно при-
ближаться к асимптоте.
Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной сто-
роны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асим-
птоту и переходя с одной ее стороны на другую (рисунок 43).
Если обозначим через d расстояние от точки М кривой до асимптоты, то
ясно, что d стремится к нулю при удалении точки М в бесконечность.
Будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные и наклонные.
26.1 Вертикальные асимптоты
Пусть при х →х
0
с какой-либо стороны функция y=f(x) неограниченно
возрастает по абсолютной величине, т.е.
∞
=
→
)(lim
0
xf
xx
, или
∞
=
−
→
)(lim
00
xf
xx
,
или ∞=
+→
)(lim
0
0
xf
xx
. Тогда из определения асимптоты следует, что прямая х =
х
0
является асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая х = х
0
является
асимптотой, то ∞=
→
)(lim
0
xf
xx
.
Таким образом, вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) на-
зывается прямая х = х
0
, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий х → х
0
– 0
или х → х
0
+ 0 (рисунок 44).
х
х
d
М
0
y
Рисунок 43
а)
б)
d
М
(
;
)
0
y
       26 Асимптоты графика функции

       При исследовании функции важно установить форму ее графика при не-
ограниченном удалении точки графика от начала координат.
       Особый интерес представляет случай, когда график функции при удале-
нии его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к не-
которой прямой.

          а)       y                             б) y

                                                                  d
                                                                      М
                         d
                                М(x; у)
                   0                      х             0                   х

                                          Рисунок 43

       Определение: Прямая называется асимптотой графика функции y=f(x),
(рисунок 43) если расстояние от переменной точки М графика до этой прямой
при удалении точки М в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика
функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно при-
ближаться к асимптоте.
       Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной сто-
роны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асим-
птоту и переходя с одной ее стороны на другую (рисунок 43).
       Если обозначим через d расстояние от точки М кривой до асимптоты, то
ясно, что d стремится к нулю при удалении точки М в бесконечность.
       Будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные и наклонные.

       26.1 Вертикальные асимптоты

       Пусть при х →х0 с какой-либо стороны функция y=f(x) неограниченно
возрастает по абсолютной величине, т.е. lim f ( x) = ∞ , или lim f ( x) = ∞ ,
                                                       x → x0             x → x0 − 0
или     lim        f ( x) = ∞ . Тогда из определения асимптоты следует, что прямая х =
      x → x0 + 0
х0 является асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая х = х0 является
асимптотой, то lim f ( x) = ∞ .
                       x → x0
       Таким образом, вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) на-
зывается прямая х = х0, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий х → х0 – 0
или х → х0 + 0 (рисунок 44).


106

Страницы