Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

105
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть f"(х
0
) < 0 при x < x
0
и f"(х
0
) >0 при x > x
0
.
Тогда при x < x
0
кривая выпукла, а при x > x
0
– вогнута. Следовательно, точка А,
лежащая на кривой, с абсциссой х
0
есть точка перегиба. Аналогично можно
рассматривать второй случай, когда f"(х
0
) >0 при x < x
0
и f"(х
0
) < 0 при x > x
0
.
Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек,
в которых вторая производная обращается в нуль или не существует. Ч.т.д.
Пример 87. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости
и вогнутости кривых.
1)
()
RyDxy =−= )(.1
3
1
. Найдем производные данной функции до вто-
рого порядка.
()
()
3
5
3
2
19
2
.13/1
−
−=
′′
−=
′
−
x
yxy . Вторая производная не суще-
ствует при х = 1. Исследуем эту точку на возможный перегиб.
Итак, точка перегиба х =1. Функция выпукла на (1; +∞), вогнута на
(-∞; 1).
,2.)(.)2
22
xх
xeyRyDеу
−−
−=
′
==
(
)
12242
22
222
−=+−=
′′
−−−
xeexey
xxx
. Возможные точки перегиба
найдем, решив уравнение 2х
2
– 1 = 0. Отсюда 2/1
2,1
±=х .
Точки перегиба:
21,21 +− . Функция выпукла на интервале
(
)
21;21− и вогнута на
(
)
21; −∞− ∪
(
)
∞+;21.
3)
(
)
2
1ln xy −= . Область определения функции D(y) = (-1; 1).
2
1
2
х
х
у
−
−
=
′
,
(
)
()
0
1
12
2
2
2
<
−
+−
=
′′
х
х
у
при всех х из (-1; 1). Следовательно, f(x) – вы-
пуклая на (-1; 1).
х
1
у
″
у
+ –
х
2
1
2
1
−
у
″
у
+ – + 
       Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть f"(х0) < 0 при x < x0 и f"(х0) >0 при x > x0.
Тогда при x < x0 кривая выпукла, а при x > x0 – вогнута. Следовательно, точка А,
лежащая на кривой, с абсциссой х0 есть точка перегиба. Аналогично можно
рассматривать второй случай, когда f"(х0) >0 при x < x0 и f"(х0) < 0 при x > x0.
       Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек,
в которых вторая производная обращается в нуль или не существует. Ч.т.д.
       Пример 87. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости
и вогнутости кривых.
       1) y = ( x − 1) 3 . D( y ) = R . Найдем производные данной функции до вто-
                               1


                                                     2
рого порядка. y ′ = 1 / 3( x − 1)− 3 . y ′′ = −
                                   2
                                                              . Вторая производная не суще-
                                                9( x − 1)
                                                          5
                                                            3

ствует при х = 1. Исследуем эту точку на возможный перегиб.


                           у″
                                              +                                    –
                           у                                       1                       х

           Итак, точка перегиба х =1. Функция выпукла на (1; +∞), вогнута на
(-∞; 1).
                       2                                                   2
           2) у = е − х . D( y ) = R. y ′ = −2 xe − x ,
                                2                      2           2
                                                                       (       )
                y ′′ = −2e − x + 4 x 2 e − x = 2e − x 2 x 2 − 1 . Возможные точки перегиба
                                                  2
найдем, решив уравнение 2х – 1 = 0. Отсюда х1, 2 = ±1 / 2 .

                           у″
                                              +                        –               +
                           у                                   1               1           х
                                                           −
                                                               2               2

           Точки перегиба: − 1                        2 ,+ 1   2 . Функция выпукла на интервале
(− 1    2 ;1      )
                 2 и вогнута на − ∞; − 1          (                    ) (
                                                                   2 ∪ 1       2;+ ∞ . )
           3)          (                )
                 y = ln 1 − x 2 . Область определения функции D(y) = (-1; 1).

у′ =
       − 2х
                , у ′′ =
                           − 21 + х2(             ) < 0 при всех х из (-1; 1). Следовательно, f(x) – вы-
       1− х2               (1 − х )         2 2

пуклая на (-1; 1).




                                                                                                    105

Страницы